发布时间 : 星期二 文章十年全国高中数学联赛试题一试解析几何含解析)更新完毕开始阅读fd28b689f11dc281e53a580216fc700aba685298
十年全国高中数学联赛试题一试
解析几何圆锥曲线部分解答题
x2y22000、已知C0:x+y=1和C1:2?2?1(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，
ab对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。
2
2002．已知点A(0，2)和抛物线y=x＋4上两点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．
2
2
2006. 给定整数n?2，设 M0(x0,y0)是抛物线y?nx?1与直线y?x的一个交点. 试证
明对于任意正整数m，必存在整数k?2，使(x0,y0)为抛物线y?kx?1与直线
mm22y?x的一个交点.
2008．如图，P是抛物线y2?2x上的动点，点B,C在y轴上，圆(x?1)2?y2?1内切于?PBC，求?PBC面积的最小值．
2000.答案：所求条件为
11+2=1. 2ab证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心.
假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与C1内接,与Co外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为(0, b) 和 (0, -b) .菱形一条边的方程为
xy+=1,即bx+ay=ab.由于菱形与CO外切, ab
故必有
aba2?b2=1,整理得
11+2=1. 必要性得证. 2ab充分性:设
11+2=1,P是C1上任意一点,过P、O作C1的弦PR，再过O作与PR垂直的弦QS，2ab则PQRS为与C1内接菱形.设 OP = r1, OQ =r2, 则点O的坐标为(r1cos?, r1sin?),点Q的坐标为(r2cos(?+
??),r2sin(?+)),代入椭圆方程,得 22?r1cos??a22+
?r1sin??b22[r2cos(??=1,
?
a22)]2[r2sin(??)]22+2=1,
b2?cos2(??)sin2(??)cos?sin?11112+2] ??于是,+==()+[2a2b2OP2OQ2R12R2a2b22??=
11+=1. a2b2111=+=1,故得h=1 hOP2OQ2又在Rt△POQ中，设点O到PQ的距离为h，则
同理，点O到QR，RS，SP的距离也为1，故菱形PQRS与C0外切.充分性得证. [注]对于给出a?b?ab ，
2222aba?b22=1等条件者，应同样给分.
2002.
解：设B(y0－4，y0)，C(y1－4，y1)．则
2
2
y0－21y1－y01kAB=2=．kBC=22=．
yy0+21+y0
y0－4y1－y0
由kAB·kBC=－1，得(y1+y0)(y0+2)=－1． 2
∴ y0+(y1+2)y0+(2y1+1)=0．
22
∴ △=(y1+2)－4(2y1+1)=y1－4y1≥0， ∴ y1≤0，y1≥4．
当y1=0时，得B(－3，－1)，当y1=4时，得B(5，－3)均满足要求，故点C的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．
2005.过抛物线y?x上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足
2AEBF??1;点F在线段BC上，满足??2，且ECFC?1??2?1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.
解一：过抛物线上点A的切线斜率为：y??2x|x?1?2,?切线AB的方程为
1y?2x?1.?B、D的坐标为B(0,?1),D(,0),?D是线段AB的中点. ………………5分
2AE2??1知， 设P(x,y)、C(x0,x0)、E(x1,y1)、F(x2,y2)，则由EC221??1x01??1x0?2x0?1??2x0BE??2,得x2?x1?,y1?;,y2?.
1??11??1FC1??21??221??1x01??1x0y?x?1??11??1∴EF所在直线方程为：?, 22?1??2x01??1x0?2x01??1x0??1??21??11??21??122化简得[(?2??1)x0?(1??2)]y?[(?2??1)x0?3]x?1?x0??2x0.…①…………10分
222x0x?x01当x0?时，直线CD的方程为：y?…②
22x0?1x0?1?x??1?32x联立①、②解得?，消去，得P点轨迹方程为：y?(3x?1).………15023?y?x0?3?分
当x0?1311311时，EF方程为：?y?(?2??1?3)x???2,CD方程为：x?，22442421??x?,?2??2?联立解得??也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴x0?1,?x?.
3?y?1.??12???∴所求轨迹方程为y?分
解二：由解一知，AB的方程为y?2x?1,B(0,?1),D(,0),故D是AB的中点. ……5分 令??12(3x?1)2(x?).………………………………………………203312CDCACB,t1??1??1,t2??1??2,则t1?t2?3.因为CD为?ABC的中线， CPCECF?S?CAB?2S?CAD?2S?CBD.
而
SSt?t1CE?CFS?CEF11133????CEP??CFP?(?)?12?,???,t1t2CA?CBS?CAB2S?CAD2S?CBD2t1?t2?2t1t2?2t1t2?2?P是?ABC的重心. ………………………………………………………………………10分
设P(x,y),C(x0,x0),因点C异于A，则x0?1,故重心P的坐标为
220?1?x01?x0?1?1?x0x021x??,(x?),y??,消去x0,得y?(3x?1)2.
3333332故所求轨迹方程为y?12(3x?1)2(x?).………………………………………………20分 33