发布时间 : 星期四 文章初中数学常用的概念公式和定理更新完毕开始阅读fb473360cc22bcd127ff0c99
初中数学常用的概念、公式和定理
1. 整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.
如:－3, ,0.231,0.737373…, , .无限不环循小数叫做无理数..如:π,－ ,0.10
10010001…(两个
1之间依次多1个0).有理数和无理数统称为实数.
2. 绝对值:a≥0 丨a丨=a;a≤0 丨a丨=－a. 如:丨－ 丨= ;丨3.14－π丨=π－3.14.
3.一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0.
4.把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法.
如:－40700=－4.07×105,0.000043=4.3×10－5.
5.被开方数的小数点每移动2位,算术平方根的小数点就向相同方向移动1位;被开方数的小数点每移动3位,立方根的小数点就向相同方向移动1位. 如:已知 =0.4858,则 =48.58;已知 =1.558,则 =0.1588.
6.整式的乘除法:①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.
②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.③多项式乘以多项式,用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.④多项式除以单项式,将多项式的每一项 分别除以这个单项式.
7.幂的运算性质:①am×an=am+n.②am÷an=am－n.③(am)n=amn.④(ab)n=anbn.⑤( )n=n.⑥a－n=n,特别:( )－n=( )n.⑦a0=1(a≠0).
如:a3×a2=a5,a6÷a2=a4,(a3)2=a6,(3a3)3=27a9,(－3)－1=－ ,5－2= = ,( )－2=( )2= ,(－3.14)0=1,( － )0=1.
8.乘法公式(反过来就是因式分解的公式):①(a+b)(a－b)=a2－b2.②(a±b)2=a
2
±2ab+b2.③(a+b)(a2－ab+b2)=a3+b3.④(a－b)(a2+ab+b2)=a3－b3;a2+b2=(a+b)2
－2ab,(a－b)2=(a+b)2－4ab.
9.选择因式分解方法的原则是:先看能否提公因式.在没有公因式的情况下:二项式用平方差公式或立方和差公式,三项式用十字相乘法(特殊的用完全平方公式),三项以上用分组分解法.注意:因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
10.分式的运算:乘除法要先把分子、分母都分解因式,并颠倒除式,约分后相乘;加减法应先把分母分解因式,再通分(不能去分母).注意:结果要化为最简分式.
11.二次根式:①( )2=a(a≥0),② =丨a丨,③ = × ,④ = (a>0,b≥0). 如:①(3 )2=45.② =6.③a<0时, =－a .④ 的平方根=4的平方根=±2. 12.一元二次方程:对于方程:ax2+bx+c=0:①求根公式是x= ,其中=b2－4ac叫做根的判别式.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.注意:当Δ≥0时,方程有实数根.③若方程有两个实数根x1和x2,则
x1+x2=－ ,x1x2= ,并且二次三项式ax2+bx+c可分解为a(x－x1)(x－x2).④以a和b为根的一
元二次方程是x2－(a+b)x+ab=0.
13.解分式方程(去分母或换元)和无理方程(两边平方或换元)必须检验.形如: 的方程组,用代入法解;形如: 的方程组,先把一个方程分解为两个一次方程,再把这两个方程分别与另一个方程组合成两个方程组,再用代入法分别解这两个方程组.
14.不等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号要改变方向. 15.平面直角坐标系:①各限象内点的坐标如图所示.
②横轴(x轴)上的点,纵坐标是0;纵轴(y轴)上的点,横坐标是0. ③关于横轴对称的两个点,横坐标相同(纵坐标互为相反数); 关于纵轴对称的两个点,纵坐标相同(横坐标互为相反数); 关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标都互为相反数.
16.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标).当k>0时,y随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y随x的增大而减小(直线从左向右下降).特别:当b=0时,y=kx又叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必过原点.
17.反比例函数y= (k≠0)的图象叫做双曲线.当k>0时,双曲线在一、三象限(从左向右降);当k<0时,双曲线在二、四象限(从左向右上升).因此,它的增减性与一次函数相反.
18.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线(c是抛物线与y轴的交点的纵坐标).①a>0时,开口向上;a<0时,开口向下.②顶点坐标是(－ , ),对称轴是直线x=－ .
特别:抛物线y=a(x－h)2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h.
注意:求解析式的设法①已知三个点的坐标,则设为一般形式y=ax2+bx+c;②已知顶点坐标(h,k),则设为顶点式y=a(x－h)2+k;③已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0)和(x2,0),则设为交点式y=a(x－x1)(x－x2).
19.抛物线与x轴的位置关系:对于抛物线y=ax2+bx+c①Δ<0时,它与x没有交点.②Δ=0时,它与x轴只有一个交点(与x轴相切).③Δ>0时,它与x轴有两个交点(x1,0)和(x2,0),其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.
20.统计初步:(1)概念:①所要考察的对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个体.从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本容量.②在一组数据中,出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数.③将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. (2)公式:设有n个数x1,x2,…,xn,那么:
①平均数 = (x1+x2+…+xn).②方差S2= [(x1－ )2+(x2－ )2+…+(xn－ )2.( 是整数时用)
③S2= [(x12+x22+…+xn2)－n( )2].注:各数据的数位较少或平均数是分数时,用此公式.
④若将n个数x1,x2,…,xn各减去一个适当的数a,得到一组新数x1,,x2,,…,xn,,那么原来那组数的方差S2=这组新数的方差,平均数 =a+ ,.方差越大,这组数据的波动就越大.通常用样本方差去估计总体方差,用样本平均数去估计总体平均数.方差的算术平方根叫做标准差
(3)频率:①把一组数分成若干个小组,组距=(最大值－最小值)÷组数(求组数时,用收尾
法取整数),这时,落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数,每一小组的频数与数据总
个数的比值叫做这一小组的频率.因此,各组的频率的和等于1.在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率.各小长方形的面积的和等于1.
21.锐角三角函数:①设∠A是RtΔ的任一锐角,则∠A的正弦:sinA= ,∠A的余弦:cosA= ,∠A的正切:tanA= ,∠A的余切:cotA= .
并且sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,sin2A+cos2A=1.0
－A)=tgA.
③特殊角的三角函数值:sin300=cos600= ,sin450=cos450= ,sin600=cos300= ,sin00=
cos900=0,sin900=cos00=1,tg300=ctg600= ,tg450=ctg450=1,tg600=ctg300= ,tg0
0
=ctg900=0.
④斜坡的坡度i= = .设坡角为α,则i=tgα= .
22.三角形:(1)在一个三角形中:等边对等角,等角对等边.
(2).证明两个三再形全等的方法有:SAS,AAS,ASA,SSS,HL.(3)在RtΔ中,斜边上的中线等于斜边的一半.(4)证明一个三角形是直角三角形的方法有:①先证明有一个角等于900.
②先证明最长边的平方等于另两边的平方和.③先证明一条边的中线等于这条边的一半.(5)三角形的中位线平行于笫三边,并且等于笫三边的一半.(6)等腰三角形中,顶角的平分线与底边上的中线和高互相重合.
23.四边形:(1)n边形的内角和等于(n－2)1800,外角和等于3600. (2)平行四边形的性质:对边平行且相等;对角相等;邻角互补;对角线互相平分.
(3)证明一个四边形是平行四边形的方法有:①先证两组对边平行.②先证两组对边相等.
③先证一组对边平行且相等.④先证两条对角线互相平分.⑤先证两组对角分别相等.
(4)矩形的对角线相等且互相平分;菱形的对角线互相垂直平分,并且四条边相等.
(5)证明一个四边形是矩形的方法有:①先证明它有三个角是直角.②先证它是平行四边形,再证它有一个角是直角或对角线相等.
(6)证明一个四边形是菱形的方法有:①先证明它的四条边相等.②先证它是平行四边形,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直. (7)正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性质. (8)梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半.
(9)轴对称图形有:线段,角,等腰三角形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多边形,圆.中心对称图形有:线段,平行四边形,矩形,菱形,正方形,边数是偶数的正多边形,圆.
24.证明两个三角形相似的方法有:①先证两组对应角相等.②先证两边对应成比例并且夹角相等.③先证三边对应成比例.④先证斜边和一条直角边对应成比例.相似三角形的性质:对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,周长的比,都等于相似比.面积的比等于相似比的平方. 25.平行切割定理:①如图1,DE∥BC = . ②如图2,若AB∥CD∥EF则 = , = . 26.射影定理:如图3,ΔABC中,若∠ACB=900,
CD⊥AB,则:①AC2=AD·AB.②BC2=BD·BA.③AD2=DA·DB.
27.圆的有关性质:(1)垂径定理:如果一条直线具备以下五个性质中的 任意两个性质:①经过圆心;②垂直弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧; ⑤平分弦所对的优弧,那么这条直线就具有另外三个性质.注:具备①,③时,弦不能是直径.(2)两条平行弦所夹的弧相等.(3)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它所对应的其余三组量都分别相等.(4)圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(5)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(6)圆周角等于它所对的弧的度数的一半.(7)弦切角等于它所夹的弧的度数的一半.(8)同弧或等弧所对的圆周角相