发布时间 : 星期六 文章2015年江苏省高考数学试卷(备战高考)更新完毕开始阅读fa84d69a3a3567ec102de2bd960590c69fc3d8c5
为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
【分析】以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．
（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可； （2）利用换元法可得cos2＜单调性，计算即得结论．
【解答】解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，
由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）． （1）∵AD⊥平面PAB，∴∵
=（1，1，﹣2），
=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量， ，
＞≤
，结合函数y=cosx在（0，
）上的
=（0，2，﹣2），
设平面PCD的法向量为=（x，y，z）， 由
，得
，
取y=1，得=（1，1，1）， ∴cos＜
，＞=
=
，
；
∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为
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（2）∵又又
=（﹣1，0，2），设
=
+
=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），
=（0，﹣1，0），则=（﹣λ，﹣1，2λ）， ，
＞=
=
，
=（0，﹣2，2），从而cos＜
设1+2λ=t，t∈[1，3]， 则cos2＜
，
＞=
=
≤
，
当且仅当t=，即λ=时，|cos＜因为y=cosx在（0，又∵BP=
=
，＞|的最大值为，
）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值． ，∴BQ=BP=
．
【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
26．（10分）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数． （1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明． 【分析】（1）f（6）=6+2++=13；
（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论． 【解答】解：（1）f（6）=6+2++=13；
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（2）当n≥6时，f（n）=．
下面用数学归纳法证明：
①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；
②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论： 1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2+结论成立；
2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2+
+
，结论成立；
+
+2=（k+1）
+
，
3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2++2+
+
，结论成立；
4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2+
+
，结论成立；
+2=（k+1）
5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2++2+
+
，结论成立；
++2=（k+1）
6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2+
+
，结论成立．
+2=（k+1）
综上所述，结论f（n）=n+[]+[]+2，对满足n≥6的自然数n均成立．
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【点评】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．
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