发布时间 : 星期六 文章复变函数题库（包含好多试卷 - 后面都有答案）更新完毕开始阅读f9698d652f60ddccda38a07a
《复变函数》考试试题（十二）
二、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）
1．设复数z1?x1?iy1及z2?x2?iy2，若x1?x2或y1?y2，则称z1与z2是相等的复数。（ ）
2．函数f(z)?Rez在复平面上处处可微。 （ ） 3．sinz?cosz?1且sinz?1,cosz?1。 （ ）
4．设函数f(z)是有界区域D内的非常数的解析函数，且在闭域D?D??D上连续，则存在M?0，使得对任意的z?D，有f(z)?M。 （ ） 5．若函数f(z)是非常的整函数，则f(z)必是有界函数。（ ） 二、填空题。（每题2分）
1．i?i?i?i?i? _____________________。
2345622z??,?0，且???arg2．设z?x?iy?yarg?arcta?n________________。
x3．若已知f(z)?x(1??2?y?arcta?n，当x?0,y?0时，
x211)?iy(1?)，则其关于变量z的表达式为__________。 2222x?yx?y4．nz以z?________________为支点。 5．若lnz??2i，则z?_______________。
6．
?z?1dz?________________。 z2467．级数1?z?z?z??的收敛半径为________________。 8．cosnz在z?n（n为正整数）内零点的个数为_______________。
9．若z?a为函数f(z)的一个本质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，则z?a是
1的________________奇点。 f(z)10．设a为函数f(z)的n阶极点，则Resz?af?(z)?_____________________。 f(z)三、计算题（50分）
1．设区域D是沿正实轴割开的z平面，求函数w?5z在D内满足条件5?1??1的单值
连续解析分支在z?1?i处之值。 （10分）
2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分） （1）f(z)?Lnz的各解析分支在z?1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10分） z2?1ez（2）求Resn?1。 （5分）
z?0z3．计算下列积分。（15分）
z7 （1）?， dz （8分）
z?2(z2?1)3(z2?2) （2）
?????x2dx(x2?a2)2。 (a?0) （7分）
64．叙述儒歇定理并讨论方程z?6z?10?0在z?1内根的个数。（10分） 四、证明题（20分）
1．讨论函数f(z)?ez在复平面上的解析性。 （10分） 2．证明：
1znez?d?zn2 ??()。 n?C2?in!??n! 此处C是围绕原点的一条简单曲线。（10分）
《复变函数》考试试题（十三）
一、填空题．（每题２分） １．设z?r(cos??isin?)，则
1?_____________________． zz?z0２．设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则limf(z)?A的充要条件是_______________________．
３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分
?Cf(z)dz?_________________________．
z?a４．设z?a为f(z)的极点，则limf(z)?____________________． ５．设f(z)?zsinz，则z?0是f(z)的________阶零点． ６．设f(z)?1，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_________________． 21?z７．设z?a?z?a?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设z??sin??6?icos?6，则z的三角表示为_________________________．
９．
?40zcoszdz?___________________________．
e?z１０．设f(z)?2，则f(z)在z?0处的留数为________________________．
z二、计算题．
１．计算下列各题．（９分）
3?i(1) cosi； (2) ln(?2?3i); (3) 3
2．求解方程z?8?0．（７分）
22３．设u?x?y?xy，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)?u?iv，使之
3f(i)??1?i．（８分）
４．计算积分．（10分）
(1) (2)
?C(x2?iy)dz，其中C是沿y?x2由原点到点z?1?i的曲线．
[(x?y)?ix2]dz，积分路径为自原点沿虚线轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i．
?1?i0５．试将函数f(z)?1分别在圆环域0?z?1和1?z?2内展开为洛朗级
(z?1)(z?2)数．（８分）
６．计算下列积分．（８分）
5z?2(1) ??z?2z(z?1)2dz； (2) x2dx．７．计算积分?（８分）
??1?x4??sin2z??z?4z2(z?1)dz．
８．求下列幂级数的收敛半径．（６分） (1)
?nzn?1?n?1(?1)nn； (2) ?z．
n!n?1?2９．讨论f(z)?z的可导性和解析性．（６分） 三、证明题．
１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)为常数，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）