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经济应用基础（一）微积分 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.4函数的极值
本授课单元教学目标或要求：
理解函数的极值概念，掌握用导数求函数的极值的方法
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：函数极值的定义，函数取得极值的必要条件与充分条件 函数极值的定义
定义4.1 设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，对于该邻域内（除x0外）的任一x，
(1)如果都有f(x)?f(x0)，则称f(x0)是f(x)的极大值； (2)如果都有f(x)?f(x0)，则称f(x0)是f(x)的极小值.
函数的极大值与极小值称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
定理4.4 （极值的必要条件）
设函数f(x)在x0处可导，如果f(x)在x0处取得极值，则f?(x0)?0 使f?(x0)?0，则称x0为函数f(x)的一个驻点 .
定理4.5（极值存在的一阶充分条件）
设函数f(x)在x0处连续，在(x0??,x0)?(x0,x0??)（?为某个正数）上可导 （1）如果在f?(x)?0， f?(x)由正变负，则x0是f(x)的一个极大值点；
（2）如果在f?(x)?0，f?(x)由负变正，则x0是f(x)的一个极小值点； （3）如果
f?(x)不变，则x0不是f(x)的极值点.
例1 求函数f(x)?(x?2)2(x?1)3的极值。 解： 函数的定义域为(??,??)且在(??,??)内可导，
2 f?(x)?(x?2)(x?1)(5x?4)，令f?(x)?0得：x1??2,x2??4,x3?1 5 用x1??2,x2??
4,x3?1分定义域(??,??)成如下区间，讨论如下： 5
x (??,?2) ?2 4(?2,?) 5 - ↘ ?0 4541 (?,1)5 + ↗ 0 无极值 (1,??) + ↗ f?(x) + f(x) ↗ 0 极大值 极小值 由表可知，函数在x??2时取得极大植f(?2)?0， 在x??
定理4.6（极值存在的二阶充分条件）
设函数f(x)在x0存在二阶导数，且f?(x0)?0 f??(x)?0，则： (1)如果f??(x0)?0，则x0是f(x)的一个极大值点；
(2) 如果f??(x0)?0，则x0是f(x)的一个极小值点； (3) 如果f?(x0)?0，无法确定。
例5 函数f(x)?x4?10x2?5 的极值
解： 函数的定义域为(??,??)，f?(x)?4x3?20x?4x(x2?5)， 令
44时取得极小值f(?)??8.39808 55f?(x)?0，得：x1??5,x2?0,x3?5，f??(x)?12x2?20
当x1??5时，f??(?5)?40?0，所以x1??5为极小值点； 当x2?0时，f??(0)??20?0，所以x2?0为极大值点； 当x3?5时，f??(5)?40?0，所以x3?5为极小值点。 故函数的极小值为f(?5)?f(5)??20，极大值为f(0)?5
本授课单元教学手段与方法：
采用呈现法，通过图形示例，引导学生了解极值与导数符号的关系。 本授课单元思考题、讨论题、作业： 1、y?xe2?x2 的极大值与极小值。
232、求函数f(x)?(x?1)?1的极值
作业：P195：12（1）（4）（6）；13（4）
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济大学《高等数学》第四、五版
经济应用基础（一）微积分 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用
§4.5 最大值与最小值，极值的应用问题 本授课单元教学目标或要求：
掌握求最值的方法，并会求解简单的应用问题（包括经济分析中的问题）。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：.
基本内容：求函数在闭区间[a,b]上的最值，极值应用问题
1． 函数在闭区间[a,b]上的最值
函数在闭区间[a,b]上的最值是指整个区间上的所有函数值当中的最值，是个全局性的概念，根据函数在闭区间[a,b]连续的性质，它的最值要么在端点取得，要么为函数有区间内的极值点上取得，从而得出求闭区间上最值的方法：
(1) 求区间端点处的函数值f(a),f(b)； (2) 求f(x)在(a,b)内驻点处的函数值f(xi)； (3) 求f(x)在(a,b)内不可导点处的函数值f(xj)；
(4) 比较上面三类点处的函数值，最小者为最小值，最大者为最大值. 例7 求函数f(x)?x4?8x2?1在区间[?3,3]上的最大值和最小值 解： f?(x)?4x3?16x?4x(x?2)(x?2) 令f?(x)?0，得驻点x1??2,x2?0,x3?2， 计算f(?2)?f(2)??15,f(0)?1,f(?3)?f(3)?10
比较上述各值的大小，得函数在区间[?3,3]上的最大值为f(?3)?f(3)?10，
最小值为f(?2)?f(2)??15 2． 实际问题中最值的求法
在实际应用问题中，如果(a,b)内部只有一个驻点x0，而从该实际本身又可以知道在
(a,b)内函数的最大值（或最小值）确实存在，那么f(x0)就是所要求的最大值（或最
小值），不需要再算f(a),f(b)进行比较了。
例9 书P166 例10 书P167
重点：求最值的方法; 难点为将实际问题转化成数学模型
本授课单元教学手段与方法：
结合图例讲解法帮助学习理解求最值过程，通过例子讲解将问题转为函数上求最值问题的要点。
制作ppt课件利用投影显示问题 本授课单元思考题、讨论题、作业：
. 1、已知某厂生产x件产品的成本为：C(x)?2500?200x?问；（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？
22、求函数f(x)?x?3x?2在区间[?3,4]上的最大与最小值。
12x（元） 40作业：P195：14（1）（3）；15；23
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济大学《高等数学》第四、五版