发布时间 : 星期一 文章高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时作业更新完毕开始阅读f8d21cff0166f5335a8102d276a20029bd64638a
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
明目标、知重点
1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1， (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2．复数加减法的几何意义
→→
如图：设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应→→
的向量是OZ，与z1－z2对应的向量是Z2Z1.
[情境导学]
我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？ 探究点一 复数加减法的运算
思考1 我们规定复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 答 仍然是个复数，且是一个确定的复数；
思考2 当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？ 答 一致．
思考3 复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项． 思考4 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．
- 1 -
答 满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1. 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i， 显然，z1＋z2＝z2＋z1，同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 思考5 类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则． 答 (a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. 例1 计算：
(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)1＋(i＋i)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．
解 (1)原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2. (2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i) ＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.
反思与感悟 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项． 跟踪训练1 (1)计算2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]； (2)计算(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)； 解 (1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i. (2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i. 探究点二 复数加减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
→→→
答 如图，设OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有OZ1＝(a，b)，
2
OZ2＝(c，d)，由向量加法的几何意义OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，所以OZ1＋OZ2与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进
行．
思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
答 z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量→→→
(如图)．图中OZ1对应复数z1，OZ2对应复数z2，则Z2Z1对应复数z1－z2. 例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求： →
(1)AO表示的复数； →
→→→→
- 2 -
→
(2)对角线CA表示的复数； →
(3)对角线OB表示的复数．
→→→
解 (1)因为AO＝－OA，所以AO表示的复数为－3－2i.
→→→→
(2)因为CA＝OA－OC，所以对角线CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→
(3)因为对角线OB＝OA＋OC，所以对角线OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用． 跟踪训练2 复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
→→→
则AD＝OD－OA＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i， →→→
BC＝OC－OB＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. →→
∵AD＝BC，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i. ∴?
??x－1＝1
??y－2＝－3
，解得?
??x＝2
??y＝－1
，
故点D对应的复数为2－i. 探究点三 复数加减法的综合应用
例3 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 解 方法一 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴a＋b＝c＋d＝1，① (a－c)＋(b－d)＝1② 由①②得2ac＋2bd＝1， ∴|z1＋z2|＝?a＋c?＋?b＋d? ＝a＋c＋b＋d＋2ac＋2bd＝3. 方法二 设O为坐标原点，
22222
2
2
2
2
2
2
2
z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形， 且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
- 3 -
→
∴|z1＋z2|＝|OC| ＝
→2→2→→
|OA|＋|AC|－2|OA||AC|cos 120°＝3.
反思与感悟 (1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为
x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．
(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形
OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪训练3 本例中，若条件变成|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2.求|z1－z2|. 解 由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，
知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长， 所以|z1－z2|＝2.
11
1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于( )
22A．0 55
C.－i 22答案 C
1155
解析 z1＋z2＝(2＋)－(＋2)i＝－i. 22222．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( ) A．1＋i C．－1－i 答案 B
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
→→→→
3．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB表示的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，则BC表示的复数为( ) A．2＋8i C．4－4i 答案 C
B．－6－6i D．－4＋2i B．1＋3i D．－1－3i 35B.＋i 2253D.－i 22
- 4 -