发布时间 : 星期五 文章重庆市南开中学2020届高三数学上学期第一次教学质量检测考试试题文（含解析）更新完毕开始阅读f89f6daf83c758f5f61fb7360b4c2e3f572725de
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得到乙的平均分比甲更高，稳定性也更好，综合认为乙的更好．
【详解】（1）因为甲乙考试次数比例为2:3，所以抽取5个成绩，应该取甲的2次成绩； 设甲的6个成绩由高到低为A，B，C，D，E，F，高于85分的是A，B两个， 则取法有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，
DF，EF共15种，
其中至少有一次高于85分的有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF共9
93?. 15578?75?72?86?81?94?81分， （2）甲的均值为
672?75?78?82?82?82?83?91?93?82分， 乙的均值为
9种，概率为
92?62?32?0?52?132320所以甲的方差为??53.33，
66102?72?42?0?0?0?12?112?92368乙的方差为??40.89，
99所以乙的平均分比甲更高，稳定性也更好，综合认为，乙的更好.
【点睛】本题主要考查通过茎叶图考查平均数、方差的求法，分层抽样的特征，以及古典概型概率的求法，意在考查学生的数据分析能力和计算能力。
?3?x2y23M1,19.已知离心率为的椭圆C：2?2?1?a?b?0?经过点??2??. ab2??（1）求椭圆C的方程；
Q两点，（2）直线AM，求?PQMB分别为椭圆的左右顶点，BM分别交直线x?4于P，A，
的面积.
x2【答案】（1）?y2?1（2）33 4【解析】 【分析】
（1）利用已知条件列出方程，求出a,b，即可得到椭圆的标准方程；
（2）根据已知条件求出直线AM，BM的方程，则可求出三角形底边两点P、Q间的距离，
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利用三角形面积公式即可求出．
x2y23【详解】（1）离心率为，则a?2b，椭圆为C：2?2?1，
4bb2?3?x221,代入M?解得，，所以椭圆方程为：Cb?1a?2?y?1. ??2?4??（2）由题意A??2,0?，B?2,0?， 直线AM：y?33?x?2?，BM：y???x?2?， 62代入x?4得yP?3，yQ??3， 所以S?PQM?11?4?xM??yP?yQ??(4?1)?23?33. 22【点睛】本题主要考查利用椭圆的性质求椭圆方程，以及三角形面积的求法，意在考查学生的计算能力。
20.如图，四边形ABCD中?BAC?90o，?ABC?30o，AD?CD，设?ACD??.
（1）若?ABC面积是?ACD面积的4倍，求sin2?； （2）若?ADB??6，求tan?.
【答案】（1）sin2??【解析】 【分析】
33（2）tan?? 22（1）设AC＝a，可求AB?3a，AD＝asinθ，CD＝acosθ，由题意S△ABC＝4S△ACD，利用三角形的面积公式即可求解；
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（2）在△ABD中，△BCD中，分别应用正弦定理，联立可得2sin（用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解． 【详解】（1）设AC?a，则AB???θ）＝3sinθ，利33a，AD?asin?，CD?acos?，由题意
S?ABC?4S?ACD，
则
113a?3a?4?acos??asin?，所以sin2??. 222BD3aBDAB??（2）由正弦定理，?ABD中，，即sin??????①
sinsin?BADsin?ADB6BD2a?BDBC?，即???sin?② ?BCD中，
sin??sin?BCDsin?CDB??3?3?①÷②得：2sin????????3sin?，化简得 ?3?3. 23cos??2sin?，所以tan??【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，意在考查学生的计算能力和转化思想．
21.已知函数f?x??e?ax?lnx?a?1.
x2（1）若y?f?x?在函数x?1处的切线垂直于y轴，求f?x?在1,???的最小值； （2）求证：a?0时，f?x??1恒成立. 【答案】（1）0（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）利用导数的几何意义，求出参数a，再判断出函数的单调性，从而求出函数的最小值． （2）利用函数的二次求导，求出函数的单调性和函数的极值点，得到函数的最小值，再利用基本不等式即可求出．
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【详解】（1）f'?x??e?2ax?x1， x1?e， 211xx此时f'?x??e??1?e?x??e?ex?x?，
xx1f''?x??ex?e?1?2?0（∵x?1），
xf'?1??e?2a?1?0，a?所以f'?x?在1,???单增，f'?x??f'?1??0，
从而f?x?在1,???单增，最小值为f?1??e?a?a?1?0.
（2）因为a?0，所以f?x??ax?1?e?lnx?1?e?lnx?1，
2xxx设g?x??e?lnx?1，g'?x??e?????x1， x因为g'?x?单增，g'??1???0，g'?1??0，所以g'?x??0有唯一根x0，为g?x?的极小值点，2??x0且e?1，x0??lnx0， x0x0所以g?x??g?x0??e?lnx0?1?x0?1?1?2?1?1，故得证. x0【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义求切线斜率，利用函数的导数判断函数的单调性、求函数的极值和最值，意在考查学生的运算能力和数学建模能力。
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
?x?2?2cos?xOy22.在直角坐标系中，曲线C：?（?为参数），以O为极点，x轴的非负
?y?2sin?半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程； （2）若射线???和????值.
【答案】（1）曲线C的普通方程?x?2??y2?4，极坐标方程??4cos?（2）32?3分别交曲线C于异于极点O的A，B，求?AOB面积的最大
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