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武夷学院数学与计算机系 《数学分析（1，2，3）》教案
第十三章 多元函数的极限和连续性
教学目的：本章在平面点集相关概念基础上建立多元函数及其极限和连续概念和理论，
为学习多元函数微积分学奠定基础。
教学重点难点：多元函数极限和连续概念和理论。
§1、平面点集
一 邻域、点列的极限
定义1 在平面上固定一点M0?x0,y0?，凡是与M0的距离小于?的那些点M组成的平面点集，叫做M0的?邻域，记为O?M0,??。
定义2 设Mn??xn,yn?，M0??x0,y0?。如果对M0的任何一个?邻域O?M0,??，总存在正整数N，
limMn?M0或当n?N时，有Mn?O?M0,??。就称点列?Mn?收敛，并且收敛于M0，记为
n???xn,yn???x0,y0??n???。
性质：（1）?xn,yn???x0,y0??xn?x0,yn?y0。
（2）若?Mn?收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。
二 开集、闭集、区域 设E是一个平面点集。
1． 内点：设M0?E，如果存在M0的一个?邻域O?M0,??，使得O?M0,???E，就称M0是E的内点。 2． 外点：设M1?E，若存在M1的一个?邻域O?M1,??，使O?M1,???E??，就称M1是E的外点。
3． 边界点：设M*是平面上一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何?邻域O?M*,??，
其中既有E的点，又有非E中的点，就称M*是E的边界点。E的边界点全体叫做E的边界。 4． 开集：如果E的点都是E的内点，就称E是开集。
5． 聚点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何?邻域O?M*,??，
至少含有E中一个（不等于M*的）点，就称M*是E的聚点。
性质：设M0是E的聚点，则在E中存在一个点列?Mn?以M0为极限。 6． 闭集：设E的所有聚点都在E内，就称E是闭集。
7． 区域：设E是一个开集，并且E中任何两点M1和M2之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起
来，而这条折线全部含在E中，就称E是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。
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三 平面点集的几个基本定理
1．矩形套定理：设?an?x?bn,cn?y?dn?是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，
并且bn?an?0，dn?cn?0，那么存在唯一的点属于所有的矩形。
2.致密性定理：如果序列Mn?xn,yn?有界，那么从其中必能选取收敛的子列。
3.有限覆盖定理：若一开矩形集合???????x??,??y???覆盖一有界闭区域。那么从???
里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。
4．收敛原理：平面点列?Mn?有极限的充分必要条件是：对任何给定的??0，总存在正整数N，
当n,m?N时，有r?Mn,Mm???。
??§2 多元函数的极限和连续
一 多元函数的概念
不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因
素决定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角?所确定,即A?xysin?;圆柱体体积V由底半径r和高h所决定,即V??rh。这些都是多元函数的例子。
一般地，有下面定义：
定义1 设E是R的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f，
在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数，它在点(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)，即u?f(x,y)。
有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数
22x?R2?x2?y2就是一个上半球面，球心在原点，半径为R，此函数定义域为满足关系式x2?y2?R2222的x，y全体，即D?{(x,y)|x?y?R}。又如，Z?xy是马鞍面。
二 多元函数的极限 定义2 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数f?M??f(x,y)在点
2M0?x0,y0??E附近有定义．如果???0，???0，当0?r?M,M0???时，有f(M)?A??，就称
A是二元函数在M0点的极限。记为limf?M??A或f?M??A?M?M0?。
M?M02定义的等价叙述1 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数f?M??f(x,y)在点
M0?x0,y0??E 附近有定义．如果???0，???0，当0?
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?x?x0???y?y0?22??时，有
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f(x,y)?A??，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limf?M??A或f?M??A?M?M0?。
M?M02定义的等价叙述2 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数f?M??f(x,y)在点
M0?x0,y0??E 附近有定义．如果???0，???0，当0?x?x0??,0?y?y0??且
?x,y???x0,y0?时，有f(x,y)?A??，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limf?M??A或
M?M0f?M??A?M?M0?。
注：（1）和一元函数的情形一样，如果limf(M)?A，则当M以任何点列及任何方式趋于M0M?M0时，f(M)的极限是A；反之，M以任何方式及任何点列趋于M0时，f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某一曲线?M0时，f(M)的极限为A，还不能肯定f(M)在M0的极限是A。所以说，这里的“或”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。
例：设二元函数f(x,y)?xy，讨论在点(0,0)的的二重极限。 22x?yx2y例：设二元函数f(x,y)?2，讨论在点(0,0)的二重极限是否存在。 2x?y??0,例：f(x,y)????1,x2?y或y?0其它，讨论该函数的二重极限是否存在。
二元函数的极限较一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。
例：limx?y。
x??x2?xy?y2y??sinxy2222222?(x?y)② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)e
x?0x??x?0xy?0y??y?0例：① limcos2?sin2?x2y2?0? 例：求f(x,y)?3在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为limr333r?0cos??sin?x?y33（注意：cos??sin?在??7?时为０，此时无界）。 4x2y例：（极坐标法再举例）：设二元函数f(x,y)?2，讨论在点(0,0)的二重极限．
x?y2证明二元极限不存在的方法．
基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；２）或某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法说明极限与辐角有关．
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例：f(x,y)?xy在(0,0)的二重极限不存在． 22x?y三 二元函数的连续性
定义3 设f?M?在M0点有定义，如果limf(M)?f(M0)，则称f?M?在M0点连续．
M?M0“???语言”描述：???0,???0,当0 22例：求函数u?tanx?y的不连续点。 ??四 有界闭区域上连续函数的性质 有界性定理 若f?x,y?再有界闭区域D上连续，则它在D上有界。 一致连续性定理 若f?x,y?再有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续。 最大值最小值定理 若f?x,y?再有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。 零点存在定理 设D是R中的一个区域，P0和P1是D内任意两点，f是D内的连续函数，如果 n????????????f(P0)?0，f(P1)?0，则在D内任何一条连结P0,P1的折线上，至少存在一点Ps， 使f(Ps)?0。 五 二重极限和二次极限 在极限limf(x,y)中，两个自变量同时以任何方式趋于x0,y0，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此 x?x0y?y0外，我们还要讨论当x,y先后相继地趋于x0与y0时f(x,y)的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下： 若对任一固定的y，当x?x0时，f(x,y)的极限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)在y?y0时的 x?x0极限也存在并等于A，亦即lim?(y)?A，那么称A为f(x,y)先对x，再对y的二次极限，记为 y?y0y?y0x?x0limlimf(x,y)?A． 同样可定义先y后x的二次极限：limlimf(x,y)． x?x0y?y0上述两类极限统称为累次极限。 注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。 例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设 11?xsin?ysinx?0,y?0?yxf(x,y)??由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（两边?0x?0x?0ory?0?y?0 13-4 武夷学院数学与计算机系 《数学分析（1，2，3）》教案 夹）;limsiny?01不存在知f(x,y)的累次极限不存在。 y例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设 f(x,y)?xy， (x,y)?(0,0) x2?y2x?0y?0由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知两个二次极限存在且相等。但由前面知limf(x,y) x?0y?0y?0x?0不存在。 x2?y2例：（两个二次极限存在，但不相等）。设 f(x,y)2， (x,y)?(0,0) 2x?y则 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1; limlimf(x,y)?limlimf(x,y) （不可交换） x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条 件下，它们之间会有一些联系。 定理1 设（1）二重极限limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y)。则 x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?A。 y?y0x?x0（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。 推论1 设（1） limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)存在；（3）?x,x?x0，limf(x,y) x?x0y?y0x?x0y?y0存在；则limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重极限limf(x,y)。 y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0推论2 若累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)存在但不相等，则重极限limf(x,y)必不存在 x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0（可用于否定重极限的存在性）。 例：求函数f?x,y??x2y2xy??x?y?222在?0,0?的二次极限和二重极限。 13-5