发布时间 : 星期日 文章2019届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题课时作业更新完毕开始阅读f76d13ac443610661ed9ad51f01dc281e53a5680
花落知多少第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题
课时作业 A组——基础对点练
1．已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，动点C的轨迹为E. (1)求曲线E的方程；
→→
(2)若直线l：y＝kx＋m(km<0)与曲线E相交于A，B两个不同点，且OA·OB＝5，证明：直线l经过一个定点．
解析：(1)由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离，
∴曲线E是以点(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，设其方程为y＝2px(p>0)，∴
2
p2
＝1，∴p＝2，
2
∴动点C的轨迹E的方程为y＝4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由?
?y＝kx＋m，?
??y＝4x，
222
2
得kx＋(2km－4)x＋m＝0， 4－2kmm∴x1＋x2＝，x1·x2＝2. 2
2
kkm＋4km→→22∵OA·OB＝5，∴x1x2＋y1y2＝(1＋k)x1x2＋km(x1＋x2)＋m＝＝5， 2
k∴m＋4km－5k＝0，∴m＝k或m＝－5k. ∵km<0，∴m＝k舍去，
∴m＝－5k，满足Δ＝16(1－km)>0， ∴直线l的方程为y＝k(x－5)， ∴直线l必经过定点(5,0)．
2．(2018·昆明市检测)已知点A，B的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，直线AM，BM相1
交于点M，且它们的斜率之积是－，点M的轨迹为曲线E.
2(1)求曲线E的方程；
→→→→
(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若RP＝λ1PF，RQ＝λ2QF，证明：λ1＋λ2为定值．
解析：(1)设点M(x，y)，由已知得
2
2
2
y1·＝－(x≠±2)，
2x＋2x－2
y 1
花落知多少化简得曲线E的方程：＋y＝1(x≠±2)．
2(2)证明：设点P，Q，R的坐标分别为
x2
2
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(0，y0)．
→→
由RP＝λ1PF，得(x1，y1－y0)＝λ1(1－x1，－y1)， λ1y0
所以x1＝，y1＝，
1＋λ11＋λ1
1λ12y02
因为点P在曲线E上，所以()＋()＝1，
21＋λ11＋λ1化简得λ1＋4λ1＋2－2y0＝0 ①，
λ2y0→→
同理，由RQ＝λ2QF，可得x2＝，y2＝，
1＋λ21＋λ2代入曲线E的方程化简得λ2＋4λ2＋2－2y0＝0 ②，
由①②可知λ1，λ2是方程x＋4x＋2－2y0＝0的两个实数根(Δ>0)， 所以λ1＋λ2＝－4，即λ1＋λ2为定值．
3．在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(3，0)，直线MA，MB交于点M，它们的斜率之积为常数m(m≠0)，且△MAB的面积最大值为3，设动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程；
→→
(2)过曲线E外一点Q作E的两条切线l1，l2，若它们的斜率之积为－1，那么QA·QB是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 解析：(1)设M(x，y)，则由已知得
2
2
2
2
2
2
yx2
x＋3x－3
·
y＝m，即y＝m(x－3)，
22
y2
即－＝1(x≠±3)．(*) 33m①当m>0时，方程(*)表示双曲线，此时△MAB面积不存在最大值(不符合)； ②当m＝－1时，方程(*)表示圆，此时△MAB的面积最大值为3(不符合)；
1
③当m<0且m≠－1时，方程(*)为椭圆，此时△MAB的面积最大值为3，所以m＝－.
3此时所求的方程为＋y＝1(x≠±3)．
3
(2)设Q(x0，y0)，过点Q的切线l为y＝k(x－x0)＋y0，
x2
2
y＝kx－x0＋y0，??2由?x2
＋y＝1，??3
消去y得
2
花落知多少(1＋3k)x＋6k(y0－kx0)x＋3(y0－kx0)－3＝0，
则Δ＝36k(y0－kx0)－4(1＋3k)·3[(y－kx0)－1]＝0， 化简得(3－x0)k＋2x0y0k＋1－y0＝0， 1－y0
于是k1·k2＝2，由已知斜率之积为－1，
3－x01－y022则3)， 2＝－1，则x0＋y0＝4(x0≠±3－x0
→→1→2→2
所以|OQ|＝2，于是QA·QB＝[(2QO)－AB]＝1.
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
x2y21
4．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角
ab2
形PF1F2的面积最大值为3，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程；
→→
(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使OM·ON＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．
??bc＝3，解析：(1)依题意知?
c1??a＝2，?a＝2，
解得?
?b＝3，
c2＝a2－b2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝m，
当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋n，则点O到直线MN的距离d＝
|n|
x2y2
k2＋1
＝
n2k2＋1
，
2
2
?3x＋4y＝12，?
联立，得?
??y＝kx＋n，
2
2
2
消去y，
得(4k＋3)x＋8knx＋4n－12＝0， 由Δ>0得4k－n＋3>0，则 －8kn4n－12
x1＋x2＝2，x1x2＝2，
4k＋34k＋3
所以x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n＝m，
2
2
2
2
2
3
花落知多少7nmk＋
整理得2＝12＋
k＋1k2＋1因为d＝ 2
22
.
12221
＝， 77
为常数，则m＝0，d＝
k＋1
2
n27n此时2＝12满足Δ>0.
k＋1
当MN⊥x轴时，由m＝0得kOM＝±1，
??3x＋4y＝12，
联立，得?
?y＝±x，?
2
2
122212
消去y，得x＝，点O到直线MN的距离d＝|x|＝亦成77
立．
221
综上，当m＝0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.
7
B组——能力提升练
1．如图，已知直线l：y＝kx＋1(k>0)关于直线y＝x＋1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：＋y＝1分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.
4
x2
2
(1)求k·k1的值；
(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
解析：(1)设直线l上任意一点P(x，y)关于直线y＝x＋1对称的点为P0(x0，y0)， 直线l与直线l1的交点为(0,1)， ∴l：y＝kx＋1，l1：y＝k1x＋1，k＝由
y－1y0－1
，k1＝， xx0
y＋y0x＋x0
2＝2
＋1，
得y＋y0＝x＋x0＋2 ①， 由
y－y0
＝－1，得y－y0＝x0－x ②， x－x0
??y＝x0＋1，
由①②得?
??y0＝x＋1，
yy0－y＋y0＋1
kk1＝
xx0
4