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函数与方程的思想方法
四川省仁寿县钟祥中学 余仁宏
概述
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。 方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数y?f(x)，当y?0时，就转化为方程f(x)?0，也可以把函数式y?f(x)看做二元方程y?f(x)?0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。
函数与表达式也可以相互转化，对于函数y?f(x)，当y?0时，就转化为不等式
f(x)?0，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也
离不开解不等式。
数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。
n*f(x)?(a?bx)(n?N)与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比 函数
较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。
解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。
高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。
第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等；
第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题；
第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等；
第四层次：构造方程或不等式求解问题。
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其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。 纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。 经典例题：
一．
函数思想
所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。
1. 构造函数，运用函数的性质
例1.（1）已知关于x的方程x?2cosx?a?0有唯一解，求a的值； （2）解不等式x(1?22x2?2)?(x?1)(1?(x?1)2?2)?0。
22分析：（1）构造函数f(x)?x?2cosx?a，则问题转化为求f(x)的零点唯一时的a。 （2）由观察可构造函数f(x)?x(1?22x2?2)再利用函数的性质，解决问题。
解析：（1）令f(x)?x?2cosx?a，x?R?f(?x)?f(x),?f(x)是偶函数。
?f(x)的图像关于y轴对称，而题设方程f(x)?0由唯一解，从而此解必为x?0（否则
2必有另一解），?f(0)?0?2?a?0,解得a??2。
（2）设f(x)?x(1?x2?2),x?R，易证f(x)在区间?0,???内为增函数。
?f(?x)??x(1?x2?2)??f(x).?f(x)是奇函数，从而f(x)在区间（??，??）上为增函数，?原不等式可化为f(x)?f(x?1)?0,即f(x?1)??f(x)?f(?x),即x?1??x,?x??点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。
122.选定主元，揭示函数关系
例2．对于a?[?1,1]的一切值，使不等式()23x2?ax?12?()2x?a恒成立的x的取值范围是 3分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。 解析;?
2222()x?ax?1?()2x?a且0??1，?x2?ax?1?2x?a，即333a(x?1)?(x?1)2?0。①
当x?1时，不定式①不成立。
当x?1时，设f(a)?a(x?1)?(x?1)。
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当x?1时，f(a)时[?1,1]上的增函数，欲使f(a)?0恒成立，则只需f(?1)?0， 即
(x?1)2?(x?1)?0,?x?1?0,?x?2.又当，
x?1时，f(a)时[?1,1]上的减函数，欲使f(a)?0恒成立，则只需f(1)?0
即(x?1)?(x?1)?0,?x?1,?x?0.故x的取值范围时(??,0)?(2,??)。
点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x反而以a为主变元对x进行讨论，这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。
23．选取变元，确定函数关系
例3．函数y?x?1?x的值域是 。
分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。然而，可考虑转换选取新变元。 解析：由??x?0????0?x?1，?设x?sin2?,???0,?，则1?x?cos2?，
?2??1?x?0那么y?sin??cos??当??0或?3??????， 2sin(??).????0,?,?????24444???2时,ymin?1;当???4时，ymax?2.于是函数的值域是1,2
??点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的函数y?sin(x?????)在?0，?上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。 4?2?4.利用二项式定理构造函数
k1k?1k0k例4：求证：CmCn?CmCn???CmCn?Cm?n。
分析：构造函数f(x)?(1?x)(1?x)?(1?x)解析：令f(x?(1?x)m?nmnm?n，比较两个展开式中x的系数。
kk，Cm?n是（1?x）km?n展开式中x的系数，又
0122nm01nnf(x)?(1?x)m(1?x)n?(Cm?Cmx?Cmx???Cmx)(Cn?Cnx???Cnx),其0k1k?1k00k1k?1k0kk中x的系数为CmCn?CmCn???CmCn，故CmCn?CmCn???CmCn=Cm?n。
点评：利用函数f(x)?(ax?b)(n?N)，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。
n*5.用函数的思想方法解数列题
11117例5.已知不定式?????log2(a?1)?对一切大于1的自然数n都成
n?1n?22n1212欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com
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立，求实数a的取值范围。 分析：?1n11无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，???n?22n111????(n?N且n?2),当n?2时，有 nn?22n1111????0， 2n?12n?2n?12(n?1)(2n?1)用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。 解析：令f(n)?f(n?1)?f(n)???所以f(n?1)?f(n),?f(n)为增函数，且f(n)min?f(2)?由题意得
7, 12717?log2(a?1)?,?log2(a?1)?0,解得1?a?2。 121212点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出f(n)的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。
6.建立函数关系解应用题
例6.用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m，
那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用x表示，容积y是x的函数。运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。 解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为
14.8?4x?4(x?0.5)?3.2?2x(m).
43由3.2?2x?0和x?0得0?x?1.6，设容器的容积为y(m),则有
y?x(x?0.5)(3.2?2x)(0?x?1.6),整理得y??2x3?2.2x2?1.6x，求导，得 y???6x2?4.4x?1.6，令y??0,有?6x2?4.4x?1.6?0,即15x2?11x?4?0,
解得x1?1,x2??4(不合题意，舍去)。从而，在定义域（0，1.6）内只有在15x?1处使y??0。因此，当x?1时，y取得最大值，ymax??2?2.2?1.6?1.8这时，高
为3.2?2?1?1.2(m)。
答：当容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积是1.8(m)。
点评：此题容易忽视的时自变量x的取值范围，缺少它，很难判断求出的最大值是否符合题意。另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。
3二． 方程的思想
方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考
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