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线性空间3
a,i?jaij?1,i?j1．设A?(aij)是n?n矩阵，其中
（a）求行列式detA的值，这里detA表示矩阵A的行列式； (b) 设W?XAX?0，求W的维数及W的一组基。 2．设A是元素全为1的n阶方阵，E是n阶单位矩阵。
（1）求行列式aE?bA的值,其中a,b是实常数；
(2) 已知1?rank(aE?bA)?n, 试确定a,b所满足的条件，并求下列线性子空间的
???维:W?x?aE?bA?x?0,x?Rn??
3．设W1与W2分别是数域K上8元齐次线性方程组AX?0与BX?0的解空间，如果
rankA?3,rankB?2,W1?W2?K8，那么dim(W1?W2)? 。
4．设V是数域P上的n维线性空间,?(x,y)是V上的非退化的反对称双线性函数,I是V的子空间,记
I???v|v?V,?(x,v)?0,?x?I?证明:
（I）dimI=dimV-dimI,这里dimV表示V的维数. （II）dimI与dimI的奇偶性相同. 5．设M?pn?n??,f(x),g(x)?P[x],且(f(x),g(x))=1.令A=f(M),B=g(M),W,W1,W2分别为线性方程组
ABX=0,AX=0,BX=0的解空间,证明W=W1?W2.
?100??1?3i??6．设V是由矩阵A的全体实系数多项式组成的线性空间,其中A??0w0?,其中w?,
2?00w2???则V的一组基为________
7．设?1??n是数域P上的n维线性空间V的一组基,W是V的非平凡子空间,?1??r 是W的一组基, 证明:在?1??n中可找到n-r个向量?i1??in?r,使?1??r,?i1??in?r为V的一组基.
8．设V是n维线性空间,A是V的线性变换.设U是V的子空间，求证:dim(A(U))+dim(A(0)?U)=dim(U).
?1这里,A(V)=A(?)|??V?,A(0)???V|A(?)?0?.
?1??9．设V1,V2是n维线性空间V的子空间,且V=V1?V2,设L(?)是V中向量?生成的子空间,且满足
V1?L(?)=0,V2?L(?)=0.求(V1?L(?))?(V2?L(?))的维数并证明.
10．平面上全体向量组成的集合，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k????，是否构成实数域 上的线性空间？
11．试证：实线性空间的线性变换必有1维或2维的不变子空间。
12．设A为n阶正定矩阵(n?1)??Rn，且?是非零列向量。令B?A???，求B的最大特征值以及B的 属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基。
13．设A是数域P上的线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果对于W中的任意向量?有
A??W则称W是A的-----子空间。
（A）非平凡； （B）不变； （C）核； （D）零。
?122??1?????14．设A??212?，已知A的3个特征向量：对应于??5的特征向量为???1?，对应于???1的
112?221??1??????1??0?????特征向量为?2??0?,?3??1?。试计算Ak，其中
??1???1?????123k是自然数。
15．设V是数域P上的一个三维空间，?,?,?是它的一组基，f是V的一个线性函数，已知
f(?1??3)?1,f(?2?2?1)??1，f(?1??2)??3。求：f(x1?1?x2?2??3x3)。
16．设???1,2,?1,?2?，???3,1,?1,1?，????1,0,1,?1?，???2,5,?1,?5?，????1,2,?2,3?。由
12312?i,i?1,2,3生成的子空间记为W1，由?j,j?1,2生成的子空间记为W2：
（1）求W?W的维数；
1122i（2）求W?W的一组基。
17．（1）证明：在P[x]中，多项式f?(x?a)?(x?an1i?1)(x?ai?1)?(x?an),(i?1,2,3,?,n)是一组
基，其中a,a,?,a是互不相同的数。
12n（2）在（1）中取a,a,?,a的全体n次单位根，求由基1,x,?,x12nn?1到基f,f,?,f 的过度矩
12n阵。
18．判断题：设V1,V2,V3是线性空间V找茬儿子空间，而且任意两个的交为0， 则V1?V2?V3能直和。
19判断题：设V1，V2均为线性空间V的子空间，满足 V1?V2?{0}，则V?V1?V2。
20．设V1，V2是n维欧氏空间Rn的线性子空间，且dimV1 21．设V是数域F上x的次数小于n的全体多项式构成的线性空间，定义V上的线性变换A，使 A[f(x)]?xf'(x)?f(x)，其中f'(x)表示f(x)的导数，求A的核与值域，并证明线性空间V是A?1(0)与AV的直和。 22．设V为数域P上n维线形空间，A为V上线形变换。已知A?A但A?A。试问是否存在B的一组基使A在这组基下的矩阵为对角矩阵？ 23． 设V为数域P上n维线形空间（n?1）.证明：必存在V中一个无穷的向量序列??i?i?1， 使得??i?i?1中任何n个向量都是V的一组基。 24．数域F上全体n阶反对称矩阵的集合S是否构成上F上的线性空间？若能，S的维 数是多少？ 25．Mn(F)表示数域F上的全体n阶方面军阵构成的线性空间，试证： （I）N级对称矩阵的集合W1和n级反对称矩阵的集合W2都是Mn(F)的线性子空间。 （II） Mn(F)?W1?W2。 ??32226．设V是欧氏空间，W1与W2是V上的两个子空间试证： （I） 若W1?W2，则W1?W2； （II） 当Ｖ是有限维时，若W1是Ａ—子空间，则W1是Ａ—子空间，其中Ａ是Ｖ 上的任一正交变换。 ???