发布时间 : 星期三 文章四川省绵阳市2021届新高考第二次适应性考试数学试题含解析更新完毕开始阅读f317e7a49b8fcc22bcd126fff705cc1755275fd2
x2y2整理得??1?x??2?
43（2）设l：x?my?1，将其与曲线C的方程联立，得3?my?1??4y2?12 即3m?4y?6my?9?0
设M?x1,y2?，N?x2,y2?，则y1?y2??22?2?26m9yy?? ，12223m?43m?4MN?1?m2?912(m2?1)??6m? ??2??4?223m?43m?4?3m?4?将直线FT：y??m?x?1?与x?4联立，得T?4,?3m? ∴TF?9?9m2?31?m2 |TF|13m2?41?1?2????3m?1?∴? 22|MN|44m?1m?1??设t?m2?1.显然t?1 构造f?t??|TF|1?1???3t???t?1? |MN|4?t?1?1?f??t???3?2??0在t??1,???上恒成立
4?t?所以y?f?t?在1,???上单调递增
?所以
|FT|1?1???3t???1，当且仅当t?1，即m?0时取“=”
|MN|4?t?|TF|即的最小值为1，此时直线l：x?1. |MN|
（注：1.如果按函数y?x?步骤相应给分.） 【点睛】
本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为(x1,y1),(x2,y2)，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得
1的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据xx1?x2,x1x2（或y1?y2,y1y2），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的
逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．
19．在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?2，BC?BB1?4，AC?AB1?25，且?BCC1?60?.
（1）求证：平面ABC1?平面BCC1B1；
（2）设二面角C?AC1?B的大小为?，求sin?的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）要证明平面ABC1?平面BCC1B1，只需证明AB?平面BCC1B1即可；
15. 4ruuuruuuruuu（2）取CC1的中点D，连接BD，以B为原点，以BD，BB1，BA的方向分别为x，y，z轴的正方向，uuurrABCACCA建立空间直角坐标系，分别计算平面1的法向量为B1C，利用夹角公式11的法向量为n与平面
ruuurruuurn?B1Ccosn,B1C?ruuur计算即可.
nB1C【详解】
（1）在VABC中，AB2?BC2?20?AC2， 所以?ABC?90o，即AB?BC. 因为BC?BB1，AC?AB1，AB?AB， 所以VABC≌VABB1.
o所以?ABB1??ABC?90，即AB?BB1.
又BCIBB1?B，所以AB?平面BCC1B1.
又ABì平面ABC1，所以平面ABC1?平面BCC1B1.
o（2）由题意知，四边形BCC1B1为菱形，且?BCC1?60，
则VBCC1为正三角形，
取CC1的中点D，连接BD，则BD?CC1.
ruuuruuuruuu以B为原点，以BD，BB1，BA的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系B?xyz，则
B?0,0,0?，B1?0,4,0?，A?0,0,2?，C23,?2,0，C123,2,0. r设平面ACC1A1的法向量为n??x,y,z?，
uuuruuuur且AC?23,?2,?2，CC1??0,4,0?.
??????uuuvv??AC?n?0,??23x?2y?2z?0,ruvv由?uuu得?取n?1,0,3. ??CC1?n?0,??4y?0,??由四边形BCC1B1为菱形，得BC1?B1C； 又AB?平面BCC1B1，所以AB?B1C； 又AB?BC1=B，所以B1C?平面ABC1，
uuur所以平面ABC1的法向量为B1C=23,?6,0.
??ruuurruuurn?B1C231cosn,BC???ruuur. 所以1nB1C43?24故sin??【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，本题是一道中档题.
20．在底面为菱形的四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB?AA1?2,A1B?A1D,?BAD?60?,ACIBD?O,AO?平面A1BD.
15. 4
（1）证明：B1CP平面A1BD； （2）求二面角B?AA1?D的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）43 7【解析】 【分析】
（1）由已知可证B1C∥A1D，即可证明结论；
（2）根据已知可证A1O?平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出A,A1,B,D坐标，进而求出平面A1AB和平面A1AD的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】
方法一：（1）依题意，A1B1//AB,且AB//CD,∴A1B1//CD， ∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴B1C∥A1D， ∵B1C?平面A1BD，A1D?平面A1BD， ∴B1CP平面A1BD.
（2）∵AO?平面A1BD，∴AO?A1O，
?BD， ∵A1B?A1D且O为BD的中点，∴AO1∵AO、BD?平面ABCD且AOIBD?O， ∴A1O?平面ABCD，
uuuruuuruuurOA,OB,OA1为x轴、y轴、z轴的正方向， 以O为原点，分别以
建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz，
则A?3,0,0，B?0,1,0?，D?0,?1,0?，A1?0,0,1?，
?uuuruuuruuurAA??3,0,1,AB??3,1,0,AD??3,?1,0, ∴1??????r设平面A1AB的法向量为n??x,y,z?，
vuuuvr??n?AA1??3x?z?0v，∴?则?vuuu，取x?1，则n?1,3,3. n?AB????3x?y?0ur设平面A1AD的法向量为m??x1,y1,z1?，
??