发布时间 : 星期日 文章分式化简技巧及分式应用题解法更新完毕开始阅读f25cb653f01dc281e53af08d
分式运算的若干技巧
进行分式运算应以分式的性质为基础，根据已知的条件特征和结构特征，克服思维定势，通过适当的变形、转化、沟通等解题手段，找到解题的捷径。本文介绍几种常见的方法与技巧，供同学们参考。
练练并总结出化简分式的一般步骤 计算：
a3?a2?a?1 一. 通分 例1. 化简：
a?1a4?a3?a2a4?a3?a2?二. 约分 例2. 化简： 33a?1a?1三. 运用分配律 例3. 化简：(11??1)(1?a2) a?1a?11a2四. 倒数法 例4. 已知a??3，求4的 2aa?a?12b22b)(1?)的值 3. 若a?b?3ab,求分式(1?22a?ba?b22值。
a3五. 降次法 例5. 已知a?3a?1?0，求6的值。
a?12 解：由已知，得a?1?3a
2a3a3 ?原式?2 ?42222(a?1)(a?a?1)3a[(a?1)?3a]a31? ? 31818a六. 裂项法 例6. 计算：
1111??? 2222a?aa?3a?2a?5a?6a?7a?12112x4x38x7??2?4?8七. 递进通分法 例7. 计算： 248a?xa?xa?xa?xx?a
b2a2ba??2?22abab? 八. 换元法 例8. 化简：3 322bababa??3(?)??23322ababab2a2?3b2?6c2九. 消元法 例9. 若4a?3b?6c?0，a?2b?7c?0，求2的值。 22a?5b?7c十. 参数法 例10. 已知abc?0，且满足
a?b?ca?b?c?a?b?c??，求cba(a?b)(b?c)(c?a)的值。
abca?b?ca?b?c?a?b?c???k。 解：设
cba 则有a?b?c?ck，a?b?c?bk，?a?b?c?ak 三式相加，得a?b?c?(a?b?c)k
当a?b?c?0时，k?1。则a?b?2c，a?c?2b，b?c?2a，原式?8
当a?b?c?0时，则a?b??c，a?c??b，b?c??a，原式??1
计算
把分子括号适当搭配[(a＋1)(a＋4)][(a＋2)(a＋3)]＋1=(a2＋5a＋4)(a2
＋5a＋6)＋1．这时若把a2＋5a＋5看作m 则 a2＋5a＋4=m－1 a2＋5a＋6=m＋1
十一. 常数代换法
例11. 已知a?b?c?0，abc?0，求a(?)?b( 解：?3? =a2＋5a＋5
1b1c1111?)?c(?)+3的值。 acababc??， abc11a11b11c111 ?原式?a(?)??b(?)??c(?)??(??)(a?b?c)?0
bcaacbabcabc十二. 配方法
例12. 已知实数a，b，c满足a?b?c?0，abc?8，那么 A. 正数
B. 零
C. 负数
D. 不确定
111??的值是（ ） abc
111bc?ca?ab1????(bc?ca?ab) abcabc812222 又?bc?ca?ab?[(a?b?c)?(a?b?c)]
21222 ??(a?b?c)，
211112(a?b2?c2)?0，故选C ?????abc16 解：?
十三. 利用因式分解 例13. 计算：[1111?]?(?)
a?ba?b(a?b)2(a?b)2
十四. 利用乘法公式
b2a2b2a2b2a2 例14. 计算：(2?2)(2?2?1)(2?2?1)
abababbab2baa2bab2baa2 解：原式?[(?)(2???2)]?[(?)(2???2)]
abaabbabaabbb3a3b3a3b6a6b12?a12 ?(3?3)(3?3)?6?6?
abababa6b61十五。变形 例15 已知x-3x+1=0，求x+x2的值。
2
2
1分析：将已知两边同除以x（x≠0）可变出x+x，然后利用完全平方公式的逆用可求出
1x+x2的值。
2
解：由x-3x+1=0，两边同除以x（x≠0），得
2
11x-3+x=0，即x+x=3
1122
所以x+x2=（x+x）-2=3-2=7
2
1212十六、分组计算技巧 例16计算a?2+a?1-a?1-a?2
十七、分裂整数法 例17、计算：
练习题：
1. 已知
3x?4AB??，求2A?B的值。
x2?3x?2x?1x?2111?2?22. 计算： x?1x?3x?2x?5x?6分式方程的解
题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1)
3xx?14???2 (2) ?2?1 x?22?xx?1x?1
题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.
1.若关于x的方程少?
m21??有增根, 则增根是多少?产生增根的m值又是多
x2?9x?3x?31x?4?7?有增根,则增根为 . x?33?xx3?2?3.若方程有增根,则增根为 . x?3x?323k??24. 若方程有增根,则k的值为 . x?1x?1x?1k?11k?5?2?25.若分式方程2有增根x??1,求k的值? x?1x?xx?x25m??26.当m为何值时,解方程会产生增根? x?11?xx?123434x?1?2?2??例2.(1)2 (2) 2x?1x?1x?xx?xx?11?x2. 若方程
题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.
x?3m?无解,求m的值. x?22?xxm?2. 若关于x的方程无解, 则m的值为 . x?1x?1x?1m??2无解, 则m的值为 . 3. 若关于x的方程
x?2x?2x?4k??8无解, 则k的值为 . 4. 若关于x的方程
x?33?x1. (2007荆门)若方程
xm2?2?5.若关于x的方程无解, 则m的值为 . x?3x?3