发布时间 : 星期四 文章2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛储油罐的变位识别与罐容表标定答案 - 图文更新完毕开始阅读f24915f8f6ec4afe04a1b0717fd5360cbb1a8d13
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 560.90 595.24 630.14 665.58 701.52 737.95 774.85 812.20 849.97 888.15 926.72 965.66 1004.95 1044.58 1084.53 1124.79 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 1755.32 1798.52 1841.79 1885.13 1928.51 1971.93 2015.37 2058.82 2102.27 2145.71 2189.12 2232.50 2275.82 2319.08 2362.27 2405.37 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 3032.53 3072.42 3112.00 3151.23 3190.11 3228.61 3266.72 3304.42 3341.69 3378.51 3414.86 3450.72 3486.06 3520.87 3555.11 3588.76 其他?下的罐容表，我们计算后于附录一中附上。 5.1.2 误差分析及模型优化
我们在此建立的油量计算模型，是针对任意?有效的，故可代入无变位，即纵向倾斜角??0时的数据，与题目给出的罐容表实验数据进行核对比较，从而得出本模型与实际的误差情况。
因原题附件1表中数据给出无变位进油时，油量每增加50L时的油位高度值，同时指出，罐内油量初值262L，可计算出每个油位高度值对应的储油量，得到一个间隔为50L油量的简易罐容表。
记罐容表中油位高度和储油量之间的关系为：
V'??0?f'(0,h0)
代入相应数据，得到以原题变位前的实验罐容表数据和本模型理论数据共同作图的下图4：
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图4 ??0时模型理论和实验数据比较图
模型理论和实验罐容表趋势完全一致，且数值相差不多。进而进行绝对误差和相对误差计算。有绝对误差和相对误差公式分别为：
?V?V??0?V'??0 （4）
??V??0?V'??0V'??0 （5）
使用MATLAB作图，得绝对误差和相对误差图分别如下：
修正前alpha=0时理论与实际标定值的绝对误差曲线130120110100绝对误差值/L90807060504040506070高度/cm8090100
（a）绝对误差图
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修正前alpha=0时的相对误差示意图0.03650.0360.0355相对误差0.0350.03450.0340.033540506070高度/cm8090100
（b）相对误差图
图5 修正前??0时的误差示意图
从图中可看出，相对误差在3.38%到3.58%之间波动，规律性不强，而绝对误差，则几乎为一条直线。
误差产生的原因可能有以下几条：
1）参数误差：题目中给出的储油罐椭圆长短轴、油罐长度及油位探针位置的数据可能存在误差，罐体也可能出现微小变形等误差；
2）实验误差：由于油具有黏着性和表面张力，可能出现加入的油短时间内将油浮子黏着在一个比实际情况稍高的刻度上，从而使油位高度读取偏高；
3）变位误差：实验中，真实变位角可能并非准确的0?，而可能出现一个偏移，导致误差；
4）随机误差：因测量的主观性，每次误差可能会出现一个偶然误差，使相对误差上下波动。
5）算法误差：由于我们求解模型时，数值积分采用复合Simpson算法进行逼近，存在一个误差项，其相对误差为10?6；
6）理论误差：做油量积分时，我们假设油位探针、油浮子、注油口以及出油管等罐内设备为理想线段，不占有体积。这是与实际情况不相符的，故而会造成理论值偏大的误差。
以上误差原因中，前四项是无法修正的。第五项误差很少，可忽略。而第六项误差原因，则可通过一定的修正降低误差。
假设储油罐内设备在z轴方向均匀分布，则油面每上升一定高度?h，则出现设备占据?v?k?h的误差，所以为线性，这与图示规律是一致的。
故采取线性误差补偿的方式修正模型，使模型更准确，误差更小。 对绝对误差使用线性规划，得到误差补偿方程为：
?V(h)?1.382h?14.01 （6）
在置信区间?1.32,1.44?内，置信度为0.997，吻合度很高。 理论上，由于
?V???v??k?h?k??h?kh
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误差补偿方程不应该出现常数项。但是，本补偿方程只是统计规律，是根据绝对误差的数据线性规划出的方程，因实际情况的不明和假设的存在，与实际有一定的差距。比如说，如果罐底存在某项设备，且罐底的设备占用体积大于k?h，就可能出现常数项。另外，罐底的略微变形，纵向倾斜角的不准确、罐体数据不准确等原因，也都可能导致常数项的出现。故该补偿方程是可信的。
使用误差补偿方程（9）对模型进行补偿：
V?f(?,h0)??V(h)?f(?,h0)?1.382h?14.01
再次进行误差分析，得到??0时的误差示意图如下图6。
修正后alpha=0时理论与实际标定值绝对误差曲线50454035 绝对误差值/L30252015105040506070高度/cm8090100
（a）绝对误差图
1.4x 10-3修正后alpha=0时理论与实际相对误差曲线1.21相对误差0.80.60.40.2040506070高度/cm8090100
（b）相对误差图 图6 修正后??0时的误差图
可见，修正后绝对误差已然减小到5L以下，且不随高度增加而增加，相对误差则保持原有波动，范围却减小到了0.01%到0.14%。
修正前后绝对误差和相对误差对比如下图7：
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