发布时间 : 星期六 文章2014届高考数学（山东专用理科）一轮复习教学案第十章计数原理10.2排列与组合更新完毕开始阅读f22ab69da22d7375a417866fb84ae45c3b35c2e7
10.2 排列与组合
考纲要求
1．理解排列、组合的概念．
2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能解决简单的实际问题．
1．排列与排列数：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是一件事情，只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是所有不同排列的个数，是一个数值．
排列数公式An＝________________，右边的第一个因数是n，后面的每一个因数都比前面一个少1，最后一个是n－m＋1，共____个连续正整数相乘．当m，n较小时，可利用该公式计数；排列数公式还可表示成An＝__________，它主要有两个作用：一是当m，n较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时，写出这种形式更便于发现它们之间的规律．
2．组合与组合数：“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”，它是一件事情；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同
mmAm组合的个数”，它是一个数值．组合数公式的推导要借助于排列数公式，公式C＝n＝mAmm__________________，其分子的组成与排列数An相同，分母是m个元素的全排列数．当m，
mnn较小时，可利用该公式计数；组合数公式还可以表示成Cn＝______，它有两个作用：一是当m，n较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的组合数式子进行变形和论证．
3．组合数公式有两个性质：(1)Cn＝______，该公式说明，从n个不同元素中取出m个元素与从n个不同元素中取出n－m个元素是一一对应关系，实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系；(2)Cnan＋1中取出m个元素的组合数Cn不含元素a1，共Cn个．
mm?1mmm?1＝__________________，该公式说明，从a1，a2，…，
m?1可以分成两类：第一类含有元素a1，共Cn
个；第二类
Z,xx,k
1．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )． A．A8A9 B．A8C9 C．A8A7 D．A8C7
2．(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )．
A．232 B．252 C．472 D．484
3．设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3－a2≤6，则满足条件的集合A的个数为( )．
A．78 B．76 C．84 D．83
4．刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要有两位爸爸，另外，两位小孩一定要排在一起，则这6人入园的顺序排法共有__________种．
5．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种(用数字作答)．
82828282一、有限制条件的排列问题
【例1－1】用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________(用数字作答)．
【例1－2】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数： (1)甲不在排头、乙不在排尾；
(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位； (3)甲一定在乙的右端(可以不相邻)． 方法提炼
对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素，可先排其他元素，然后将这些要求不相邻的元素插入空当，这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．
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二、组合问题
【例2－1】某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )．
A．14 B．16 C．20 D．48
【例2－2】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生； (2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选． 方法提炼
1．注意问题有无顺序要求，一般有序问题用排列，无序问题用组合； 2．有些复杂问题用直接法不好解决，往往选用间接法；
3．均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序分组要除以均匀组数的阶乘数；还要考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数．
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三、排列与组合的综合应用
【例3－1】现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机4项工作之一，每项工作至少有1人参加．甲、乙不会开车但能从事其他3项工作，丙、丁、戊都能胜任4项工作，则不同安排方案的种数是( )．
A．152 B．126 C．90 D．54
【例3－2】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 方法提炼 分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分组标准．
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排列组合的综合应用
【典例】(2012课标全国高考)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙
Zxxk 排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，
两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )．
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
2C24C2解析：将4名学生均分为2个小组共有＝3种分法，
A22将2个小组的同学分给两名教师共有A2＝2种分法， 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A2＝2种分法，
故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．
答案：A
答题指导：1．仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；
2．深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；
3．对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；
4．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同．
221．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )．
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 2．(2012陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )．
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
3．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )．
A．10 B．20 C．30 D．40
4．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．
5．4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？ (4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)
学科参考答案
基础梳理自测 知识梳理
1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n！m (n－m)！
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)2． m！
n！
m！(n－m)！3．Cnn?mmm?1 Cn?Cn
基础自测
1．A 解析：运用插空法．先将8名学生排列，有A88种排法；再把2位老师插入8名
82
学生形成的9个空中，有A29种排法，因此共有A8A9种排法．
111
2．C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有C34C4C4C4＝211
256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C13C4C3C4＝216种，由分类加法计
数原理得共有472种，故选C.
学§科§网Z§X§X§K]
3．D 解析：易知在满足a1＜a2＜a3的集合A中，仅有{1,2,9}不满足a3－a2≤6，故满足条件的集合A的个数为C39－1＝83.
4．24 解析：先将两位爸爸排在首尾，再将两位小孩视为一个整体同两位妈妈一起排
32列，最后将两位小孩内部进行排列，故这6人入园的顺序排法种数共有A22A3A2＝24.
5．72 解析：其余三个人站成一排有A3甲、乙两人插空有A2共6×123＝6种，4＝12种，＝72种．
考点探究突破
2
【例1－1】40 解析：先将3,5排列，共有A22种排法；再将4,6插空排列，有2A2种排21
法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，共有C1由分步乘法计数原理，共有A2·2A2C55种排法．2·
＝40种．况．
Z,xx,k
【例1－2】解：(1)①直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情
3
若甲排在排尾共有A11A3＝6种排法．
12若甲既不在排头也不在排尾共有A12A2A2＝8种排法，由分类计数原理知满足条件的排3112
法共有A11A3＋A2A2A2＝14(种)．
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②也可间接计算：A44－2A3＋A2＝14(种)．
(2)可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位，则乙有3种排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1＝9(种)． (3)可先排丙、丁有A24种排法，则甲、乙只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排
A442
列共有A4·1＝12(种)，或看作定序问题2＝12(种)．
A2
2
【例2－1】B 解析：直接法：可分为两种情况：(1)甲企业选中1人，有C12C4＝12种
选法；