发布时间 : 星期二 文章最新北师大版八年级数学下册教案1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定更新完毕开始阅读f21d50fbd35abe23482fb4daa58da0116c171f91
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1．2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
解析：由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，同理，B，C中均为直角三角形，D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D.
方法总结：在判定一个三角形是否为直
角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°.
【类型二】 直角三角形的性质的应用 如图①，△ABC中，AD⊥BC于D，
1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；
2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点)
一、情境导入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
CE⊥AB于E.
二、合作探究
探究点一：直角三角形的性质与判定 【类型一】 判定三角形是否为直角三角形 具备下列条件的△ABC中，不是直
角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由． (2)如果∠A是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？
解析：(1)根据垂直的定义可得△ABD和△BCE都是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，从而得解；(2)根据垂直的定义可得∠D＝∠E＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4是对顶角解答即可．
解：(1)∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CE⊥AB，
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∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2；
(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2.
方法总结：本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
探究点二：勾股定理
【类型一】 直接运用勾股定理 方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用
在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．
解析：本题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D.求：
(1)AC的长； (2)S△ABC； (3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据CD·AB＝
将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
解：此题应分两种情况进行讨论：
(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△
ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9，在
Rt△ACD中，CD＝AC－AD＝13－12＝5，∴BC＝BD＋CD＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△
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BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝
12cm；
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(2)S△ABC＝CB·AC＝30cm；
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(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD22＝
ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在
Rt△ACD中，CD＝AC－AD＝13－12＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
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AC·BC60
＝cm. AB13
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方法总结：在题目未给出具体图形时，应考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形，凡符合题设的情况都要考虑，体现了分类讨论思想，这是解无图几何问题的常用方法．
探究点三：勾股定理的逆定理 【类型一】 判断三角形的形状 如图，正方形网格中有△ABC，若
小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
证明：连接CF，设正方形的边长为4.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝
DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝
1＋2＝5，EC＝2＋4＝20，FC＝4＋3＝25.∵EF＋EC＝FC，∴△CFE是直角三角形，∴∠FEC＝90°，即EF⊥CE.
方法总结：利用勾股定理的逆定理可以
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A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC＝4＋6＝213，AC＝2＋3＝13，AB＝1＋8＝65.在△ABC中，∵BC＋AC＝52＋13＝65，AB＝65，∴BC＋AC＝AB，∴△ABC是直角三角形．故选A.
方法总结：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系
如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，
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判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法．
【类型三】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题 如图，在四边形ABCD中，∠B＝
90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．
解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将△ABC和△ACD这两个直角三角形的面积求出，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．
解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形．∵AC＝AB＋BC＝8＋6＝10，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC＋CD＝100＋576＝676，AD＝26＝676，∴AC＋CD＝
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AF＝AD，求证：CE⊥EF.
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AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝
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90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋
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×10×24＝144.
方法总结：此题将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用．
探究点四：互逆命题与互逆定理
写出下列各命题的逆命题，并判
断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
解析：分别找出各命题的题设和结论将其互换即可．
解：(1)同旁内角互补，两直线平行．真命题；
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)．真命题；
(3)内错角相等．假命题；
(4)等边三角形有一个角是60°.真命
题．
方法总结：一个定理不一定有逆定理，只有当它的逆命题为真命题时，它才有逆定理．
三、板书设计
1．直角三角形的性质与判定 直角三角的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形．
2．勾股定理及勾股定理的逆定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
本节课充分发挥了学生动手操作能力、分类讨论能力、交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思考的魅力和知识创新的乐趣，突显教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者.
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