发布时间 : 星期三 文章平面几何讲座1更新完毕开始阅读f1c2bdb9f121dd36a32d82e9
此图是用直角三角形做的非周期镶嵌的一个例子。 数学家相信，如果一种非周期镶嵌能够用特殊形状铺镶的话，那么用同样的形状也能做出一种周期的镶嵌，但是，并未证明。1964年，发现了一套只能用于非周期镶嵌的瓷砖，这套瓷砖含有20000种不同的形状。自然，人们会问：有无更少的瓷砖，用它们只能做非周期的镶嵌呢？
? 尝试探究，训练思维
15、①△ABC内有一点P，如果△PAB、△PAC和△PBC的面积比为7︰7︰1，则确定点P位置的方法是＿＿＿＿。
②将以上面积比改为1︰2︰3，如何确定P点的位置？ ③一般情况下，如果面积比改为m︰n︰p，又怎样？ 本题可从以下这个简单的性质讲起
16、三角形PAB中，M为AB上任意一点，Q为PM上任意
一点。则：
S?PAMS?QAMAMS?PAQ ???S?PBMS?QBMBMS?PBQ17、请用面积法证明三角形三条中线交于一点。
18、请证明三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，若AD：DB=AE：EC，连结CD与BE，交点为O，则AO是三角形ABC的一条中线。
19、由15题引入(Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是 AAZBXCY
??Z ZBXCYA等于1。
Y
P
CBX? 积累模型，解一通一 A以下是一系列与面积有关的问题
20、如图，已知三角形ZBP、PBX、PXC的面积分别为3、4、8，求三角形面积. ZY
P
CBX
21、如图，△ABC中，AD、BE相交于点O，BD ：CD＝3 ：2， AE：CE = 2 ：1．那么S⊿BOC ：S⊿AOC ：S⊿AOB 为
(A)2 ：3 ：4 (B)2 ：3：5 (C)3 ：4：5 (D)3 ：4 ：6
22、如右图，四边形ABCD中，对角线AC, BD交于O点. 已知AO =1,并且
那么OC的长是多少？
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23、如下图1所示，三角形ABC中，点X，Y，Z分别在线段AZ，BX， CY上，且
YZ?2ZC,ZX?3XA,XY?4YB.三角形XYZ的面积等于24，求三角形ABC的面积.
图1
ABC图2 图3
24、如图2所示，已知S?1.BF?2AF,CD?2BD,AE?2CE.求图中阴影部分
PMN的面积.
25、ABC的面积是1.如图3所示。AD?DE?EC,BG?GF?FC.求三角形ABC被分割成的九个小图形的面积.
? 分组分类，强化训练 组别1 26、从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形. 如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片再剪下边长尽可能大的正方形. 按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？
27、将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差，称为一次操作。如对18和42可连续进行这样的操作，则有： 18,42?18,24?18,6?12,6?6,6。直到两数相同为止。试给出和最小的两个五位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15。这两个五位数是______与______。
28、在长260米，宽150米的台球桌上，有A，B，C，D，E，F六个球袋.其中AB = EF =130厘米.现在从A处沿方向击出一球，碰到桌边后又沿方向弹出，当再碰到桌边后仍沿方向弹出.假设球可以如此继续下去一直运动到落入某个球袋为止.问：球将落入哪个球袋中？
组别2
29、红刻度线将木棍分成10等分；黑刻度线将木棍分成12等分。现在按照刻度线把木棍锯成小木条，问有多少条小木条？
30、在一根长木棍上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份，第二种刻度线将木
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棍分成m等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成20段。求m的值。
31、在一根长木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份，第二种刻度线将木棍分成十二等份，第三种刻度线将木棍分成m等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成30段。求m的值。
32、一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度线将它分成n等份（m>n）。如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小木棍，其中最长的小棍恰有100根。试确定m和n的值。
组别3
33、一根长线将他对折在对折，一共对折10次得到一线束。用剪刀将得到的线束剪成10
等分。问：得到不同长度的短线段各多少根？
34、一根长线将他对折在对折，一共对折m次得到一线束。用剪刀将得到的线束剪成n等
分,得到2种不同长度的短线段，若较长的线段的数量占
1.问：最大的m=? 1135、一根红色的长线，将它对折，再对折，……, 经过m次对折后将所得到的线束从中间
剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线， 经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线（m>n）。若红短线的数量与白短线的数量之和是100的倍数，试问：红色短线至少有多少条？
36、一根红色的长线，将它对折，再对折，……, 经过m次对折后将所得到的线束从中间
剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线， 经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线（m>n）。若红短线的数量与白短线的数量之差是100的倍数，试问：红色短线至少有多少条？
第三部分 中国数学奥林匹克历届等级考试（江苏）的几何试题
37、如图，三圆的半径都为R，它们的圆心C1,C2,C3在同一条直线上，且每一圆心都在另一圆的圆周上．⊙C4与这三个圆相切，半径为r．则R:r?？
?A?15:4 ?B?11:3 ?C?4:1
C4?D?3:1．
解：C． 由
C12C2C3?C1C4?2??C1C2???C2C4?222得
?R?r??R2??R?r?．化简即得．
38、有一种足球是由32块黑色与白色的牛皮缝制而成，黑牛皮是正五边形，白牛皮是正六边形，且所有牛皮的边长都相等．则白牛皮的块数为？
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?A?12
?B?16
?C?20
?D?24
解：C．
?x?y?32?设黑牛皮有x块，白牛皮有y块．则?5x?6y． 5x?6y?32??2?2?3解之方程组可得x?12，y?20．
39、已知锐角三角形ABC的三个内角满足A?B?C．用?表示A?B，B?C及90??A中的最小值，则?的最大值为 ．
解：15?．
由 ??3??2???3?90??A??2?A?B???B?C??
66270???A?B?C???15?．
6等号成立条件：90??A?A?B?B?C?15?，即A?75?，B?60?，C?45?．
40、n条直线两两相交，但任何三条不共点，这样n条直线将平面分成的区域数为 ．
解：
1n(n?1)?1． 2记n条直线把平面分成f?n?个区域．则f?1??2，f?2??4．
第n?1条直线与前n条直线有n个交点，这n个交点把第n?1条直线分成n?1段，每一段都把原来的某个区域一分为二．所以 f?n?1??f?n??n?1．
∴ f?n??2?2?3?4???n?1??n?1n?n?1??1． 2
41、平面上有6个圆，每个圆的圆心都在另外5个圆的外部，证明：平面上不存在同时在6个圆内部的点． BC
AD
P
FE证明：假设存在点P同时在6个圆的内部．
设6个圆的圆心依次（按逆时针方向排列）为A,B,C,D,E,F．考察相邻两点对点P 8