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信息与管理科学学院信息与计算科学系
课程论文
课程名称： 图与网络优化
论文名称： 图论最短路径问题在消防选址中的应用 姓 名： 武冬冬 班 级： 12级金数二班 指导教师： 王亚伟 学 号： 1210110057 实 验 室： 信息管理实验室 日 期： 2015.06.06
图论最短路径问题在消防选址中的应用
1210110057 武冬冬
【摘 要】 最短路问题是一类重要的优化问题，它不仅可以直接应用于解决生产实际中的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等，而且还经常作为一个基本工具，用于解决其他优化问题。本文介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。 【关键词】 最短路径；Dijkstra算法；消防选址
1 引言
图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。也就是说，几何图形是表述
物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。
2 图论基本概念
2.1 图的定义
有序三元组G?(V,E,?)称为一个图，其中：
(1)V?(V1,V2,?,Vn)是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E称为边集，其元素叫做图的边；
(3)?是从边集E到顶点集V的有序或者无序对集合的影射，称为关联函数。 2.2 图的分类
在图G中，与V中的有序偶(Vi,Vj)对应的边e称为图的有向边(或弧)，而与
V中顶点的无序偶对应的边e称为图形的无向边，每一条边都是无向边的图，叫
做无向图，记为G?(V,E)；每一条边都是有向边的图叫做有向图，记为
D?(V,E)；既有无向边又有有向边的图叫做混合图。
2.3 权
如果图G中任意一条边(Vi,Vj)上都附有一个数Wij，则称这样的图G为赋权图，Wij称为边(Vi,Vj)上的权。
3 最短路径问题
最短路径问题是图论中的一个基本问题。在赋权图中，每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，找出两节点之间总权和最小的路径就是最短路径问题。
最短路径问题，通常归属为三类：
(1)单源最短路径问题：包括确定起点的最短路径问题和确定终点的最短路径问题。确定终点与确定起点的最短路径问题相反，该问题是已知终点，求最短路径问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
(2)确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
(3)全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
4 最短路径算法
在赋权图中寻求最短路的算法通常有两种：Dijkstra算法和Floyd算法。 4.1 Dijkstra算法
当所有的权数Wij?0时，Dijkstra算法是目前公认的最好的算法。其基本思想是从起点v0出发，逐步向外发展。探索过程中，每到一个点，都记录下路径与路程，称为这个点的标号。故Dijkstra算法也称为标号法。
具体标号由两部分构成，第一部分是一个字母，表示前面的一个点的符号，说明从哪里来；第二部分是一个数字，表示从起点到目前位置的距离，说明有多远。标号被分成临时标号和永久标号两种。前者是可以修改的，后者是不变的。开始的时候，所有的标号都是临时标号，每一次算法循环，将其中的某一个临时标号改变为永久标号。因此，最多经过n?1次，可以求出从起点到终点的最短路径和路程。
Dijkstra的算法步骤为：设起点为v0，终点为vn。
(1)起点标号(一，0)，邻点标号(v0,L(v0,v))，其他标号(v0,??)。令
V?V?v0。
(2)如果V??，终止算法。
(3)选择vk?V，具有最小标号L(vk)?min?L(vi)?。如果vk?vn，终止算法；
vi?V否则，将vk的标号改成永久标号，令V?V?vk。
(4)检查vk的邻点，如果L(vi)?L(vk)?L(vk?vi)，则给vi标号
(vk,L(vi)?L(vk)?L(vk?vi))并返回步骤(2)。
4.2 Floyd算法
在某些问题中，需要确定图中任意两点之间的最短路径与路程。如采用Dijkstra算法求解，则须依次变换起点，重复执行算法n次才能得到所需结果，这显然过于繁琐。
Floyd算法可以借助于权矩阵直接求出任意两点之间的最短路径。
首先定义赋权图的权矩阵：D?[dij]n?n这里
??ij,当(vi,vj)?Edij?? 式中，wij表示(vi,vj)的权数。
??,否则Floyd的算法步骤：(1)令k?0，输人权矩阵D(0)?D。(2)令k?k?1，
(k?1)(k)(k?1)(k?1)(k?1)计算D(k)?(dij)n?n,k?1,2,?,n ，式中dij?min[dij,dik,dkj]。(3)如果
k?n，终止算法；否则，返回步骤(2)。
(n)(n)上述算法的最终结果D(n)?(dij就是从顶点vi到vj的最短路)n?n中元素dij程。如果希望计算结果不仅给出任意两点间的最短路程，而且给出具体的最短路径，则在运算过程中要保留下标的信息，即dik?dkj?dikj。