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潮阳一中明光学校文科数学学案 张盛武
三角函数式的化简
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．
重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.
（一）知识点 1、辅助角公式
asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)， cos φ＝ ，??sin φ＝ ，其中?
b
tan φ＝，??a
2、降幂公式：
sin2α＝________________，cos2α＝________________；sin?cos??
（二）例题讲解
π
x－?－3sin2x＋sin xcos x. 例1、(12分)已知函数f(x)＝2cos xcos??6?
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值.
审题视角 (1)在f(x)的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法.(2)当f(x)＝asin x＋bcos x的形式时，可考虑辅助角公式. π
x－?－3sin2x＋sin xcos x 解 (1)因为f(x)＝2cos xcos??6?＝3cos2x＋sin xcos x－3sin2x＋sin xcos x π2x＋?， ＝3cos 2x＋sin 2x＝2sin?3??所以最小正周期T＝π.
[6分]
[2分]
角φ称为辅助角．
π
2α＋?＝1， (2)由f(α)＝1，得2sin?3??ππ7π?
，， 又α∈[0，π]，所以2α＋∈?3?33?π5ππ13π
所以2α＋＝或2α＋＝，
3636
[8分]
1
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π11π故α＝或α＝.
412解题步骤：
[12分]
第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式.（化同角，降幂） 第二步：构造：f(x)＝a2＋b2(sin x· cos x·b
). a＋b22a
＋ a2＋b2第三步：和角公式逆用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)
(其中φ为辅助角).
第四步：利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角
函数的性质.
第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和解
题规范.
例2、求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．
解 y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x ＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x) ＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6，
由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6， 故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10， 当sin 2x＝1时，y取得最小值6.
（三）巩固练习
1．(2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( ) 1323A. B. C. D. 2322
π43?α＋7π?的值是 ( ) α－?＋sin α＝2．已知cos?，则sin6??6??5
232344A．－ B. C．－ D. 5555
3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 ( ) πA. B．π C．2π D．4π 2
4．(2011·广州模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，3)，则|a＋b|的最大值为( ) A．1 B.3 C．3 D．9
π23?α－7π?的值是 ( ) α＋?－sin α＝5．已知cos?，则sin6??6??3
232322A．－ B. C．－ D. 3333
6．函数y＝sin x＋cos x图象的一条对称轴方程是 ( )
2
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5π
A．x＝
4π
C．x＝－
4
7．(2010·重庆)如图，
3π
B．x＝ 4π
D．x＝－ 2
图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)
α2＋α3α1
且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi (i＝1,2,3)，则cos cos －
33
α2＋α3α1
sin ·sin ＝________.
33
8．(14分)(2011·济南模拟)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，3sin 2x)，x∈R.
ππ
－，?，求x； (1)若函数f(x)＝1－3，且x∈??33?(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解 (1)依题设得f(x)＝2cosx＋3sin 2x
π
2x＋?＋1. ＝1＋cos 2x＋3sin 2x＝2sin?6??
π
2x＋?＋1＝1－3， 由2sin?6??π3
2x＋?＝－.……………………………………………………………………(3分) 得sin?6??2ππππ5π∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.
33266πππ
∴2x＋＝－，即x＝－.………………………………………………………………(6分)
634πππ
(2)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ (k∈Z)，
262ππ
即－＋kπ≤x≤＋kπ (k∈Z)，
36
ππ
－＋kπ，＋kπ? (k∈Z)．……………………………………(10分) 得函数单调增区间为?6?3?
列表：
πππ2π5πx 0 π 63236y 2 3 2 0 0 2 －1 描点连线，得函数图象如图所示： 2
3
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…………………………………………………………………………………………(14分)
9．(2010·陕西)函数f(x)＝2sin xcos x是 ( ) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数
10．函数f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为 A．－3,1 B．－2,2
C．－3，32 D．－2，3
2
11．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是 A．－1 B．－12 C.1
2
D．1
12．(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin A·sin B A．有最大值1
2，最小值0
B．有最小值1
2
，无最大值
C．既无最大值也无最小值
D．有最大值1
2
，无最小值
13、(2011·泰安模拟)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos 2x－1
sin?πx??sin?π.
?4＋?4－x??
(1)求f??－11π
12??的值； (2)当x∈??0，π4??时，求g(x)＝1
2
f(x)＋sin 2x的最大值和最小值． 解 (1)f(x)
＝?1＋cos 2x?2－2cos 2x－1sin?π?4＋x??sin?π?4－x? ?＝cos22x
sin?π?4＋x?2?cos?π?4＋x??＝2cos2x＝2cos22x＝2cos 2x，
sin?πcos 2x?2＋2x??∴f??－11π12??＝2cos?11ππ
?－6??＝2cos 6＝3. (2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin??
2x＋π4??. ( ) ( )
( )
4