发布时间 : 星期一 文章广东省2019届广州市天河区高三一模理科数学试卷(含解析)更新完毕开始阅读eeb4545f9f3143323968011ca300a6c30d22f13f
因为又所以由题意知所以即二面角
，， 即为二面角
，
，所以平面PCD，可得．
的平面角． ，，
，
的正切值是．
【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19.2017年12月11日广州国际马拉松赛后，某机构用“10分制”调查了各阶层人士对此项赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶：
指出这组数据的众数和中位数； 若满意度不低于
分，则称该被调查者的满意度为“极满意”求从这16人中随机选取3人，至少有2
人是“极满意”的概率；
以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体人数很多任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）86，87.5；（2）【解析】 【分析】
；（3）
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由茎叶图利用众数与中位数的定义即可得出；为
，
，
，
被调查者的满意度为“极满意”共有4人其满意度分别
由题意可得：
再利用
利用超几何分布列、古典概率计算公式即可得出；
．
二项分布列的性质即可得出【详解】
由茎叶图可知：这组数据的众数为86，中位数
，
，
． ，
． ．
被调查者的满意度为“极满意”共有4人其满意度分别为从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率
由题意可得：分布列是 ξ P
根据二项分布的性质得到：
0 ．
1 2 3 .
【点睛】本题考查了茎叶图、众数与中位数的定义、超几何分布列、古典概率计算公式、二项分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．若离散型随机变量即其均值和方差的求解既可以利用定义，也可以直接代入上述公式. 20.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆M为线段AB的中点，且
．
的右顶点和上顶点分别为A，B，，则
，
求椭圆的离心率； 四边形ABCD内接于椭圆，【答案】（1）【解析】
；（2）见解析
记直线AD，BC的斜率分别为、，求证：
为定值．
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【分析】
，
，线段AB的中点
从而
，，
，由
，求出
，直线BC的方程为
，
由，
此能求出椭圆的离心率；椭圆的标准方程为
联立直线BC和椭圆方程得到点C坐标，联立直线AD和椭圆方程，得，，
代入点坐标化简，由此能证明【详解】
，
，
为定值．
，线段AB的中点
，解得
，
椭圆的离心率证明：
由
．
，．
得椭圆的标准方程为，，，
直线BC的方程为，联立，得，
解得，，即，
直线AD的方程为联立，
化为，
，解得，，，
，
化为
，
为定值．
，
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【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，考查两线段的斜率乘积为定值的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 21.设函数若函数讨论函数若函数【答案】（1）【解析】 【分析】
，
可得得：
时，函数
在
，解得a；
，根据函数
在
处的切线与直线
垂直，由
可取
在
处的切线与直线
．
垂直，求实数a的值；
的单调区间与极值；
有两个零点，求满足条件的最小整数a的值．
；（2）见解析；（3）3
，对a分类讨论，即可得出单调性；
时，可得
内单调递增，不可能有两个零点，舍去即可得出．
，
．
时，函数
得极小值，因此极小值【详解】
，
函数
在
处的切线与直线
，解得
．
，
垂直，
时，，此时函数
在
在内单调递增，无极值．
内单调递增．
．
内单调递增，不可能有两个零点，舍去．
时，可得函数可得由
时，函数可得：
内单调递减，在
取得极小值，时，函数时，函数
在
时，可得时，因此极小值
取得极小值，
． ．
；时，
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