发布时间 : 星期五 文章精品-新人教版2018 - 2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修2 - 2更新完毕开始阅读edf26f09b8f3f90f76c66137ee06eff9aff8499f
1．3.2 函数的极值与导数
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．极小值点与极小值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都
小，f′(a)＝0.
(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都
大，f′(b)＝0.
(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点．
1．对极值的认识
(2)极大值与极小值统称为极值．
(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的．极值点是区
间内部的点而不是端点．
(2)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单
调的函数没有极值．
2．对函数取极值条件的认识
(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数
y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．”
(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在点x0左侧和右侧
f′(x)的符号不同．
3．对函数极值点的认识
(1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之
间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．
(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点
与极小值点是交替出现的．
(3)从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0，并且曲线在极大值点左侧切
线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．[注意] 如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定大于其极小值．( )
(2)导数为0的点一定是极值点．( )
(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．( )
(4)若一个函数在给定的区间内存在极值，则极值点一定在区间的内部．( )
(5)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数
f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
B．2个D．4个
B．0
3
A．1个
C．3个 答案：A
函数y＝x＋1的极大值是( )
A．1 C．2
D．不存在
2
3
解析：选D.因为y′＝3x≥0，所以y＝x＋1在R上为增函数，故不存在极值．
函数y＝1＋3x－x的极大值点为________，极小值点为________．
解析：y′＝3－3x＝3(1－x)(1＋x)，
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
2
3
当x<－1时，y′<0，函数是减函数，当－1
当x>1时，y′<0，函数是减函数，所以当x＝－1时，函数有极小值．
当x＝1时，函数有极大值．
答案：1 －1
探究点1 求函数的极值或极值点
(1)f(x)＝
求下列函数的极值．
2x2－x－2；(2)f(x)＝xe.x2＋1【解】(1)函数f(x)的定义域为R.
2（x2＋1）－4x22（x－1）（x＋1）f′(x)＝＝－.（x2＋1）2（x2＋1）2
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞， －1)－ －10 (－1，1) 10 (1，＋∞) －f′(x)f(x) ＋极小值极大值 －3 －1由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，
且极大值为f(1)＝－1.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞， 0)－ 00 (0，2)＋ 20－2 (2，＋∞) －f′(x)f(x)极小值0 极大值4e由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，
且极小值为f(0)＝0.
当x＝2时，函数有极大值，
且极大值为f(2)＝.
4e2函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
[注意] 当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
3
2
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x－3x－9x＋5；(2)f(x)＝
3
2
ln x.x解：(1)函数f(x)＝x－3x－9x＋5的定义域为R，
且f′(x)＝3x－6x－9.
2
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞， －1)＋单调递增 －1010 (－1，3) 30－22 (3，＋∞) ＋单调递增f′(x)f(x) －单调递减 因此，x＝－1是函数f(x)的极大值点，极大值为f(－1)＝10；
x＝3是函数f(x)的极小值点，极小值为f(3)＝－22.
(2)函数f(x)＝
ln x1－ln x的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝xx2
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
e.
x (0，e)＋ e0 (e，＋∞) －f′(x)f(x)单调递增1e 单调递减因此，x＝e是函数f(x)的极大值点，极大值为f(e)＝，函数f(x)没有极小值点．
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1e探究点2 求含参数函数的极值
3
已知函数f(x)＝16x－20ax＋8ax－a，其中a≠0，求f(x)的极值．
【解】 因为f(x)＝16x－20ax＋8ax－a，其中a≠0，
所以f′(x)＝48x－40ax＋8a＝8(6x－5ax＋a)
＝8(2x－a)(3x－a)，
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