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h(x)?f(x)g(x)也是[a,b]上的凸函数。
（4）设u?f(x)为[a,b]上的凸函数，g(u)在相应区上单调递增，且为相应区间上的凸函数，则复合函数g(f(x))也是[a,b]上的凸函数。
3.2凸函数的简单性质
性质1 凸函数的导函数是单调函数。
注：如果f''(x)存在，那么由f'(x)的单调性就可导出，f''(x)的正负来判定，反之亦然；若f''(x)不存在，则可参照在论述可微性时定理1.2的证明。 性质2 设f(x)是(a,??)内的上凸递增(下凸递减)函数，则limf(x)?f(??) 存
x???在。
性质3 对于[a,??)上的凸函数f(x)，存在自然数N?a，使f(x)在[N,??)内是单调的。
性质4 对于(a,??)内的凸函数，任取两点x1,x2?(a,??)，且x1?x2，则对于下凸（上凸）函数f(x)，曲线y?f(x)在过两点A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))弦的下方(上方)。
3．3 凸函数的连续性
为了讨论凸函数的连续性，引进凸函数的两个性质
引理1：设f(x)在(A，B)内为凸函数，那么f(x)在(A，B)中的任意闭子区间有界。
此引理证明只需根据定义1，即可。
引理2：设f(x)为(A,B)上的凸函数，那么在(A,B)中任意闭子区间[a,b]上,?k?0当x1,x2?[a,b]时，有|此处补充证明
定理1：设f(x)为(A,B)内的凸函数，那么在(A,B)内f(x)连续。
证明: 任取x0?(A,B)，从而总存在一个区间[a,b]?(A,B)满足x0?(a,b)，因而
f(x1)?f(x2)|?k|x1?x2|
[,]b由引理2，对?x?a那么对???0，取??，存在一个常数k>0，使|f(x)?f(x0)|?k|x?x0|，
?k，那么当|x?x0|??时|f(x)?f(x0)|??，
?f(x)在x0点连续，由x0的任意性知f(x)在(A,B)内连续。
3.4 凸函数的可微性
定理2：设f(x) 为(a,b)内的凸函数，那么f(x)在(a,b)内内处处左右可导，且
f?'(x)?f?'(x),。
证明：对(a,b)内任一内点x，因x为内点，故?x1,x2?(a,b)，使得x1?x?x2。
f(x1)?f(x)f(x2)?f(x)?从而有凸函数的性质有：，
x1?xx2?xf(x1)?f(x)再由当x1增时，也增，故由单调有界原理知下极限存在，且
x1?xf?'(x)?lim?x1?xf(x1)?f(x)f(x2)?f(x)? 同理，
x1?xx2?x在此式中，令x2得证。
?x，可知f?'(x)存在，且f?'(x)?f?'(x)，于是定理
2
3.5 凸函数的几何意义
定理3：f(x)在区间[a,b]上是线凸函数的充分必要条件为f(x)在[a,b]区间上是一条直线，即f(x)?f(b)?f(a)?f(b)(x?b). （2）
a?b证明：必要性：设f(x)为[a，b]上的线凸函数，那么?x?[a,b]可表示为
x??a?(1??)b或??x?a， （,3） a?b且f(x)?f[?a?(1??)b]??f(a)?(1??)f(b) ， （4） 将(3)的后一式代人(4)就得f(x)?f(b)?f(a)?f(b)(x?b).
a?b充分性：若f(x)?f(b)?f(a)?f(b)(x?b)，取任意的x1,x2?I不妨令
a?bx1?x2，???(0,1)，则x??x1?(1??)x2?(x1,x2)
只需证：
f(x)?f[?x1?(1??)x2]??f(x1)?(1??)f(x2)即可。
f(a)?f(b)(x?b)，故当x?(x1,x2)时有 ?f(x)?f(b)?a?bf(x2)?f(x1)f(x)?f(x2)?(x?x2)， 由x??x1?(1??)x2?(x1,x2)知
x2?x1f(x)?f[?x1?(1??)x2]?f(x2)??f(x2)?f(x2)?f(x1)(x?x2)
x2?x1f(x2)?f(x1)(?x1?(1??)x2?x2)
x2?x1??f(x1)?(1??)f(x2).
因而充分性得证。
定理3说明了线凸函数其实是一个直线函数。
定理4：若f(x)为区间[a,b]上的凸函数，则对任意的x1,x2?[a,b]其中x1?x2，有f(x)?f(x2)?补充证明。
定理4揭示了凸函数的几何意义，见图1若P，Q，R为f(x)的图像上三个点，并且Q在P与R之间，则Q在弦PR上或在PR的下方。
f(x2)?f(x1)(x?x2) 反之亦然(其中x1?x?x2)。
x2?x1
图（1）
4、凸函数的判定定理
定理5：设f(x)?[a,b]，且在[a,b]上可导，f(x)为凸函数的充要条件为：f'(x)在[a,b]内为递增函数。
定理6：设f(x)?[a,b]，且在[a,b]上二阶导数存在，则f(x)为凸函数的充要条件为: f''(x)?0.
定理7：设f(x)?[a,b]，且在[a,b]上可导，则f(x)为凸函数的充要条件为：
?x0?(a,b),有f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0),(a?x?b)
定理8：设f(x)为区间[a,b]上的可导函数，则f(x)为凸函数的充要条件为：
f(a?b1)?[f(a)?f(b)] 22定理5：若对?x1,x2......,xn?[a,b]和?1,?2,.....,?n?0,则f(x)为凸函数的充要条件为：
??i?1ni?1，
f(?1x1??2x2?.....??nxn)??1f(x1)??2f(x2)?.....?nf(xn)