发布时间 : 星期一 文章数学创新题剖析及复习建议 - 5更新完毕开始阅读ed994603182e453610661ed9ad51f01dc281578e
数学：创新题剖析及复习建议
纵览2006年全国各地高考数学试卷,众多高考创新题无论是形式的设计，还是内容的讲究，都会给人面目一新之感．
1．(2006上海) 如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p,q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题： ①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”2个；
③若pq≠0，则“距离坐标”为（p,q）的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
思路分析: ①当p＝q＝0时，则点M只能落在直线l1和l2相交于点O处,命题正确. ②当pq＝0，且p＋q≠0时，例如p＝0, q≠ 0,则点M只能落在直线l1上,故只有两个点. ③若pq≠0时，点M可能落在直线l1和l2 外,且到直线l1和l2的的距离分别是p、q,这样的点共有4个. 故选择答案D.
点评 本题主要考查学生的阅读理解能力．在③中，学生易把点M只能在l1上或l2上两种情况误认为p=O和q=O时各有两种情况，从而共有四种情况．
2. (2006辽宁) 设 + 是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意a,b∈A,有a+b∈A,,则称A对运算+ 封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集
的点有且仅有1个； 为（p,q）的点有且仅有
思路分析: A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中 条件，故选择答案C.
点评 本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法.是对学生接受新事物能力的考查，抓住运算后仍在A中是该题的突破口，亦是解决该题的方法．本题考查学生分析、解决问题的能力，易错点是抓不住本质而无法判断．
3. (2006广东)对于任意的两个实数对（a , b）和（c , d），规定：（a , b）=（c , d），当且仅当a = c,b = d；运算“ ”为： (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)；运算“ ”为：(a,b)(c,d)=(a+c,b+d) ，设p , q∈R，若(1,2)(p,q)=(5,0) ，则(1,2)(p,q)= A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-4)
不是无理数，即无理数集不满足
思路分析:由(1,2)(p,q)=(5,0) 得
所以(1,2)(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0) ,故选B.
,
点评 本题考查了学生分析问题、解决问题的能力及运算能力，同时考查了学生对新知识接受能力和整体把握加以运用的能力，是较高层次的要求．
4.(2006江西)某地一年的气温Q（t）（单位：oc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10oc，令G（t）表示时间段[0,t]的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是
思路分析：由于平均气温为10℃，故可排除D．由于题图给出的关系可以得6月份时接近为零，且平均值逐渐增大，故排除C．又6月份以后先增加后下降，故应有起伏，但总均值为10．故先增后降，故选A
点评 本题考查了学生观察分析图像、利用图像关系加以判断的能力．需考生有较高的分析能力和识图能力．同 时要求学生具有一定的图像知识，易错点：分析不到位而错选． 5.(2006四川)非空集合G关于运算㈩满足:⑴对于任意a,b∈G,都有a㈩b∈G;⑵存在c∈G,使得对一切a∈G,都有a㈩c=c㈩a=a,则称G关于运算㈩为“融洽集”.现给出下列集合和运算: ①G={非负整数},㈩为整数的加法; ②G={偶数},㈩为整数的乘法; ③G={平面向量},㈩平面向量的加法; ④G={二次三项式},㈩为多项式的加法; ⑤G={虚数},㈩为复数的乘法. 其中关于G的运算㈩为“融洽集”的
是 . 思路分析:对于①任意两个非负数的和仍是非负数,又存在e=0∈G={非负整数},使得对一切a∈G={非负整数},都有a㈩e=a+0=0+a=e㈩a=a,所以此时G关于运算㈩为“融洽集”;
对于②虽然任意两个偶数的乘积仍为偶数,但是在偶数集合中不存在e,使得a×e= e×a=a.所以此时G关于运算㈩不为“融洽集”;对于③显然任意两个平面向量的和仍是平面向量,又存在e= ∈G={平面向量},使得对一切a∈G={平面向量},都有a㈩e=a+ = +a=e㈩a=a,所以此时G关于运算㈩为“融洽集”;对于④若a=2x2+2x+2∈G={二次三项式},b=－2x2－2x－2∈G={二次三项式},则a㈩b=2x2+2x+2+(－2x2－2x－2)=0 G={二次三项式},所以此时G关于运算㈩不为“融洽集”;对于⑤若a=i∈G={虚数},b=－i∈G={虚数},则a㈩b=i+(－i)=0 G={虚数},所以此时G关于运算㈩不为“融洽集”;所以应填①③
点评:此题以集合为载体,通过新定义“融洽集”,解决这类型题目时,心情平和是很重要的,对于每个小题,采用把这里的运算㈩换成每个小题给出的运算,逐个验证就可得出正确答案.从这个题可以看出,对于常见的集合中的特殊元素,我们应该引起足够的重视.
6. (2006湖北)将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 数三角形，称为莱布尼茨三角形. 从莱
，其中 x =_______.
，就得到一个如右图所示的分
布尼茨三角形可以看出
令 ，
则 =_______.
思路分析:本题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，故此时 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即
根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项
，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和
，
为 ，故 ，从而 .所以应填 , .