发布时间 : 星期一 文章第二十二章 一元二次方程(复习资料)更新完毕开始阅读ec00539cdd88d0d233d46af6
第二十二章 一元二次方程（复习）
考点一、概念
定义： 方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A 3?x?1??2?x?1? B
211??2?0 2xx C ax2?bx?c?0 D x2?2x?x2?1
变式：当k 时，关于x的方程kx2?2x?x2?3是一元二次方程。 例2、方程?m?2?x针对练习：
1、方程8x2?7的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程?m?1?x2?m?x?1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。 3、方程(m?4)xm?2m则m的值为 。 ?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，
?8x?1?0是一元一次方程，求m的值
考点二、方程的解
（1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
（2）应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：
例1、已知2y2?y?3的值为2，则4y2?2y?1的值为 。
例2、关于x的一元二次方程?a?2?x2?x?a2?4?0的一个根为0，则a的值为 。 针对练习：
1、已知方程x2?kx?10?0的一根是2，则k为 ，另一根是 。
1
2、已知关于x的方程x2?kx?2?0的一个解与方程（1）求k的值； （2）方程的另一个解。
x?1?3的解相同。 x?13、已知m是方程x2?x?1?0的一个根，则代数式m2?m? 。 4、已知a是x2?3x?1?0的根，则2a2?6a? 。 5、若2x?5y?3?0,则4x?32y? 。
考点三、一元二次方程的解法
（1） 方法：①直接开方法；②配方法；③公式法；④因式分解法 （2）关键点：降次
类型一、直接开方法：x2?m?m?0?,?x??m
对于?x?a??m，?ax?m???bx?n?等形式均适用直接开方法
222典型例题：
例 ： 解方程：?1?2x2?8?0; ?2?25?16x2=0; ?3??1?x??9?0;
2
针对练习：
下列方程无解的是（ ）
A.x2?3?2x2?1 B.?x?2??0 C.2x?3?1?x D.x2?9?0
2类型二、配方法
配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=?p?q；如果q＜0,方程无实根．
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题：
例1： 试用配方法说明x2?2x?3的值恒大于0。
2
例2：已知x、y为实数，求代数式x2?y2?2x?4y?7的最小值。
例3:已知x2?y2?4x?6y?13?0，x、y为实数，求xy的值。
针对练习： 已知x2?111?x??4?0x?? . ，则
xxx2类型三、公式法
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
22
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax+bx+c=0，当b-4ac≥0
?b?b2?4ac时，?将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．
2a（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 应用公式法解一元二次方程的步骤:
1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0. 2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。 3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，
4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
典型例题：
例1、选择适当方法解下列方程：
（1）3?1?x??6. （2）?x?3??x?6???8.
2
3
（3）x2?4x?1?0 （4）3x2?4x?1?0
说明：①对于二次三项式ax2?bx?c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一
般情况要用求根公式，这种方法先把方程化为ax2?bx?c=0的形式，再代求根公式求出两根。
类型四、因式分解法:
其实质是“降次”求解。将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，分别设两个一次因式为0，从而得到两个一次方程，使原方程达到“降次”的目的。
具体方法有：
①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法；④十字相乘法
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如
?ax?m?2??bx?n?2，
?x?a??x?b???x?a??x?c? ，
x2?2ax?a2?0
典型例题：
例1、2x?x?3??5?x?3?的根为（ ）
A x?552 B x?3 C x1?,x2?3 D x? 2252例2、若?4x?y??3?4x?y??4?0，则4x+y的值为 。 例3、方程x2?x?6?0的解为（ ）
A.x1??3，x2?2 B.x1?3，x2??2 C.x1?3，x2??3 D.x1?2，x2??2
例4、解方程： x2?23?1x?23?4?0
4
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