发布时间 : 星期五 文章湖南省临湘一中高考物理总复习 第13讲 万有引力理论的成就能力提升学案 新人教版必修2更新完毕开始阅读e946cc16dbef5ef7ba0d4a7302768e9950e76e6b
第13讲 万有引力理论的成就 考点l 天体质量的计算
要求解某中心天体的质量，只需知道该中心天体某一卫星环绕中心天体的运动参量T，r，v中的任意两个，即可由万有引力和牛顿第二定律结合来求解。
基本思路：根据行星(或卫星)运动的情况，把行星(或卫星)的运动视为匀速圆周运动，由观测得到卫星的运行周期及轨道半径，根据向心力由万有引力提供，可列出求中心天体质量的方程。
例如太阳质量的估算：设太阳(中心天体)的质量是M，某个行星的质量是m，它们之间
Mm2?24?2r3)．得：M?的距离是r，行星绕太阳公转的周期是T.则G2?mr( TrGT2估算地球质量的方法：
利用地球的卫星——月球的某些运动参量求解：
4?2r3 ①已知月球绕地球运转的周期T和轨道半径r，可计算地球的质量M地?； 2GTM地m月v2?m月。②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根据Grr2rv2得：M地?
GM地m月2?r2?v??mv? ③若已知月球运行的线速度v和周期T，根据G及得：月TTr2Tv3M地?
2?G 【考题1 】已知万有引力常量为G，现在给出下列各组数据，可以计算出地球质量的是( )．
A．地球绕太阳运行的周期T和地球离太阳中心的距离R B. 月球绕地球运行的周期T和月球离地球中心的距离R C. 人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运动周期T D．地球的自转周期T和地球的平均密度ρ
【解析】地球绕太阳运行时，万有引力提供向心力，对地球应用牛顿第二定律有:
GM日M地R24?2R32?2?M地R()，解得:M日?．可见只能求出太阳的质量，无法求2TGTM地mR22?24?2R3?mR()，解得M地?．可见
TGT2?mR(2?R2?2)，又v?。联立解得
TT出地球的质量，选项A错误；
同理，对月球应用牛顿第二定律有G能求出地球的质量，选项B正确；
对人造地球卫星应用牛顿第二定律有 GM地mR2M地Tv3?．选项C正确； 2?G4?34R．则地球的质量M地??V???R3， 332?R4Tv3）．可以看出要求出地球的质又地球自转周期T?，从而解得M地???（v32?将地球看成圆球形，其体积V?量还必须知道地球自转的线速度，所以选项D错误．
【答案】 B、C
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【变式1一1】利用下列数据，可以计算出地球的质量的是（ ）. A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
【变式1—2】为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M已知地球半径R＝
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6．4×10m，地球质量m＝6×10 kg，日地中心的距离r＝1．5×10m，地球表面处的重力
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加速度g取10m／s，1年约为3．2×10s，试估算目前太阳的质量M(保留一位有效数字，引力常量未知)．
考点2 天体密度的计算
求解天体密度的两种思路：
Mm2?2?mr()得
Tr24?2r33?r3M?．倘若再知道中心天体的半径R，则天体的密度?? 232GTRGT3?当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则：??．
GT2Mm3g(2)已知天体表面上的重力加速度为g，则G2?mg．得??
4?rGr(1)已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期为T．半径为r，根据G天体密度的这几个表达式经常用到，要能推导、理解其中各物理量的意义．
【考题2】已知万有引力常量G，那么在下列给出的情景中，能根据测量的数据求出月球密度的是( )．
A．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t B．发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期T C．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D和月球绕地球运行的周期T
D．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T 【解析】根据选项A的条件，可以算出月球上的重力加速度g．由G月球质量和月球半径的平方比，
Mm?mg可以求出r2Mg?，无法求出密度，选项A不正确； 2GrMm2?2)，可求出月球质量和月球半径的立方比 根据选项B的条件，由G2?mr(Tr3?M4?2???，得月球密度为，选项B正确； 232GTrGTMm2?2M4?2 根据选项D的条件，由G．虽然?m(r?h)()，可求出?3TGT(r?h)2(r?h)知道H的大小，但仍然无法求出月球质量和月球半径的立方比，故选项D不正确．
【答案】 B
【变式2—1】一个登月的宇航员，能否用一个弹簧测力计和一个质量为m的砝码，估测出月球的质量和密度?如果能，说明估测方法并写出表达式．(已知月球的半径为R) 若本题给的不是弹簧测力计和砝码，而是一把刻度尺和一只秒表，能否测量出月球的质量和密度?
考点3 黄金代换式的理解与运用
若已知星球表面的重力加速度g和星球的半径R．当忽略星球的自转影响时，可认为星
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球对其表面物体的万有引力等于物体的重力，则GMm?mg.则有：GM?gR2.这就是2R在许多计算中常用到的替换关系，被称为“黄金代换”． 注意在利用GMm?mg时易出错。若R为地球半径，则g为地球表面处的重力加速度。2R若R不是地球半径(物体距离地面高度为h)，则g应为物体所在处(距地面h高处)的重力加速度值，物体离地面越高，g值越小．此时轨道半径r＝R＋h，则该替换式可写成GM＝(R＋2
h)ｇ．
【考题3】一人造地球卫星距地球表面的高度是地球半径的l5倍．试估算此卫星的线速度(已知地球半径R=6400km)．
Mmv2?m 【解析】人造地球卫星绕地球做圆周运动时，满足关系式G 216R16R①
式中：m为卫星质量，M为地球质量，l6R为卫星的轨道半径．
由于地球质量M未知，所以应设法用其他已知常数代换，在地球表面
GMm?mg． ② 2R 由①②两式消去GM，解得v?gR9.8?6.4?106?m/s?2.0?103m/s 1616 【变式3—1】GPS是全球卫星定位系统的简称，它由距地球表面约2万千米处的24颗
高轨道测距卫星和地面的一些科技设备组成。测距卫星轨道为圆形，分布在6个轨道上，形成了一个包围地球的GPS卫星网络。地面设备包括1个主控站、l个注入站和4个监控站，以及分布在世界各地的GPS接收机。GPS卫星定位系统比雷达定位系统具有明显的技术优势，它具有的三维定位能力几乎不受天气、地域和其他电磁波的影响，且定位准确、迅速。随着科学技术的发展，GPS地面接收设备的成本进一步降低，促使其应用范围扩大到国民经济的各个领域。比如，在汽车上装备GPS接收器，车辆管理中心就可以对车辆实行智能化跟踪，随时测出车辆的方位、车速。若车上再配置GPS电子地图，只要将目的地输入地图，车辆运行时地图上的光标会为驾驶员指示最佳的行驶路线，这样不但可以大幅度提高公路的通行能力，而且对加强车辆的动态管理和分流具有重大意义。试估算测距卫星每天绕地球运行约多
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少圈。(已知地球半径R＝6400km，g取lOm／s)
考点4 多星系统运动问题
所谓“双星”问题，是指在宇宙空间中有两颗相距较近的天体，它们靠相互吸引的力提供向心力做匀速圆周运动。两者有共同的圆心，且间距不变，则向心力大小也不变。其他天体距它们很远，其影响可以忽略不计。
多星系统问题的求解方法仍然是建立万有引力方程和牛顿第二定律方程，并结多星运动系统几何上和运动参量上的特有关系求解。
在图14—2中，“双星”ml与m2的连线一定过圆轨道的圆心O．由于万有引力提供向心力，故有
F?m1r1?1?m2r2?2
“双星”的周期一定相同，角速度ω也相同，故天体质量与轨道半径成反比，即
22m1r2mv? 又因为v??r，则有m1v1?m2v2，故有1?2 m2r1m2v1 三星系统的求解方法与之类似，实际上多星系统中各星体在运转中均有相同的角速度，
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否则系统不能稳定存在。这类考题所设置的一般是理想化的对称模型，求解时应注意旋转中心到各星体的半径可能不同。在三星或更多星组成的系统中还需注意其他各星体对某待研究星体的吸引力的合力才是该星体运转所需的向心力。 双星系统具有如下特点：
(1)它们以相互间的万有引力来提供向心力。 (2)它们共同绕它们连线上某点做圆周运动。 (3)它们的周期、角速度相同。
【考题4】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m．
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少? 【解析】(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和
Gm2v2Gm2万有引力定律有 F1?, F2?． F1?F2?m 22RR(2R)5GmR3解得运动星体的线速度 v?, 周期为T?4?． ①
4R5Gm (2)设第二种形式星体之间的距离为r．则三个星体做圆周运动的半
r2 ② 径为： R??cos300 由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供．由力的合成和牛顿运动定律有
m20 F合?2G2cos30． ③
r2?2). ④ F合?mR?(T12 由①②③④式得，r?3R
5 【变式4—1】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2，两者相距为L．求： (1)双星的轨道半径之比； (2)双星的线速度之比； (3)双星的角速度．
考点5 天体运动的综合问题
天体运动的综合问题的求解方法仍是万有引力定律与牛顿运动定律的结合，另外在数学计算上应适当借用黄金代换。
解决天体运动问题的两条基本思路：
(1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的。根据圆周运动的知识和牛顿第二定律列式求解有关天体运动的一些物理量，有如下关系：
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