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关于中国人口预测问题的模型
摘要
本文针对我国的人口特点，引入控制理论中的Z-传递矩阵(即LESLIA矩阵)来模拟系统的反馈控制作用，根据以上特点对人口增长率的影响建立一个闭环控制模型。首先，我们根据所给数据建立了三个反映上述特点的子模型，对于城镇化过程，我们利用logistic曲线建立了一个城镇化模型用以预测城镇化水平，对于出生婴儿的性别差异，我们假设我国进入中等发达国家后，基本不会再有婴儿性别选则，即婴儿性别比恢复自然值，并拟和了婴儿性别比发展规律；最后为了预测老龄化的过程，我们中将人口分为若干段，各段人口构成了一个向量，这个向量在LESLIE控制矩阵的传递作用下发生变动并最终达到向量成员间的比例平衡，并由此可以得到反映人口结构的老龄化系数，社会抚养比及适龄劳动人口比，最后为了提高LESLIE控制调节的灵敏度，我们进一步对模型进行了改进，即揉和进上述特点以后，LESLIE矩阵成为一个可以随时间可以自动改变的智能矩阵，这样预测出的结果更加准确，人口系统最终能达到平衡。
最后对模型的优缺点进行评价，指出了人口预测模型中的不足，并提出了更合理预测中国人口增长的建议。
关键词：
反馈控制 逻辑斯蒂曲线 中国人口增长 生育率 男女性别比
5.3.1 问题的重述
中国是世界上人口最多的发展中国家.在科学技术和生产力飞速发展的同时，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一.因此，中国政府坚持不懈地在全国范围推行计划生育基本国策，鼓励晚婚晚育. 经过30年的艰苦努力，中国在经济还不发达的情况下，有效地控制了人口过快增长，有力地促进了中国综合国力的提高、社会的进步和人民生活的改善.
近年来，中国的人口发展出现了一些新的特点影响着中国人口的增长.例如，人口老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录1）做出了进一布的分析.附录2是从《中国人口统计年鉴》上收集到的关于中国人口问题的部分数据.关于中国人口问题已有多方面的研究,由于其已严重制约了中国经济的发展,所以对中国人口做出分析和预测始终是一个重要问题. 下面考虑两个问题：
（1）利用附录2中有关数据(也可以搜索相关文献和补充新的数据),从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型; （2）利用所求模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出模型中的优缺点.
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5.3.2 问题的分析
我们首先对现有数据进行拟合。从拟和得到的图形发现我国城镇化的过程与物种生长曲线极其类似，这可以了解为物种生长过程与城镇化同样大致经历三个过程，即缓慢增长期，快速增长期，饱和期，我们可以利用logistic曲线来模拟。在拟和出生婴儿性别差异时，我们按照实际情况假设1950年以前婴儿性别比为自比指标比例。并且假设我国进入中等发达国家后，基本不会再有婴儿性别选则。即婴儿性别比恢复自然值。并使用了这些数据拟和了符合实际情况的婴儿性别比规律。为了反映老龄化的影响，我们中将人口分为若干段，各段人口构成一个向量，这个向量在LESLIE控制矩阵的作用下发生变动并最终达到向量成员间的比例平衡。
然后考虑到我国人口增长的特点，即老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，这些因素通过影响出生率和死亡率中而最终影响人口的增长。考虑到海外人口所占比例很小，根据自动控制的原理，我们可以根据以上因素对人口增长率的影响建立一个闭环控制模型，假设我国人口系统是 一个能控制且稳定系统，即从长期来看我国人口各项指标将达到稳定，并引入控制理论中的Z-传递矩阵(即LESLIA矩阵)来模拟系统的反馈控制作用。
5.3.3 模型假设及符号规定 1.模型的假设
（1）为方便计算，记2001年为第1年； （2）表中数据客观真实，具有可靠性；
（3）各个年龄的城市乡镇人口比，性别比均与整体的相应比例一致； （4）假设中国人口是一个封闭的系统，没有人口的迁入与迁出； （5）假设在没有政策性变化时（如限制生育年龄，或允许多育），育龄妇女的生育率关于年龄的相对分布是稳定的；
（6）假设在未来的很长一段时间内，医学上没有大的革命，死亡率的变化将很小，我们认为其不变.
2.符号规定
xi(0)：初始时刻第i个年龄组的女性的人数； xi(t)：第i个年龄组的女性在时刻t的人数，
x(t)?[x0(t),x1(t),?,xm(t)]T,t?0,1,2,?;
?i：第i年不同类型人的生育率的权值；
bi(t)：第i年龄组中平均每人每年生育并生存下来的人数； di(t)：在时间t时年龄为i的人的死亡率；
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si(t)：第i年龄组中到t?1时生存下来并进入i?1年龄组的人的比例
(i?0,1,2,?)；
aj(k)：第j年的第k种类型的妇女人口(k?1,2,3分别代表城市、镇、农村的妇女)。
5.3.4 模型的建立与求解 1.城镇化模型
对于乡村人口城镇化问题，我们通过城镇人口占总人口的比率预测城镇人口比率，从而得到城镇化的规律。对于城镇人口比例趋势，我们使用曲线来拟合预测。
假设城镇人口的比例为P(t)，P(t)为关于时间t的函数，根据logistic模型，有城镇人口比率增长的速度与P(t)(1?P(t))成比例。这里的，K为城镇人口K能够达到的比例上限。当P(t)很小时，P(t)差不多近似等于1，所以城镇人口比例的增长速度与P(t)成比例的连续增长，但是，当P(t)大于0.5K时，1?P(t)小K于0.5，城镇人口比例增长速度逐渐减慢。根据以上的假定，城镇人口比例增长的速度为
dP(t)P(t)?rP(t)(1?)(r为比例常数) dtKK解微分方程得：P(t)?(m为常数)。 ?rt1?me
利用已知数据用Origin软件拟合函数，得到K?0.71175，m?1.01625，
r?0.10623 ?2分布检验值为0.00007，中国城市人口可以达到的比例上限为：K?0.71175，与其他机构预测的值接近并符合真实情况。因此我们认为我们拟
合的函数很好的反应了真实情况。则有
P(t)?0.71175 ?0.10623t1?1.01625e表5-1是通过拟合的函数得到的城市人口比例预测值。
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年份 2006 2007 2008 2009 2010 城市人口比例 0.462997 0.479901 0.49619 0.511812 0.526724 年份 2011 2012 2013 2014 2015 城市人口比例 0.540895 0.554305 0.566945 0.578813 0.589917 年份 2016 2017 2018 2019 2020 城市人口比例 0.600272 0.6099 年份 2021 2022 0.618824 0.627075 0.634685 2023 2024 2025 城市人口比例 0.641687 0.648117 0.65401 0.659401 0.664325 年份 2026 2027 2028 2029 2030 城市人口比例 0.668817 0.672907 0.676629 0.680011 0.683081 年份 2031 2032 2033 2034 2035 城市人口比例 0.685865 0.688388 0.690673 0.69274 0.69461 年份 2036 2037 2038 2039 2040 城市人口比例 0.6963 年份 2041 0.697826 0.699205 0.700449 0.701572 2042 2043 2044 2045 城市人口比例 0.702584 0.703497 0.70432 0.705062 0.705731 年份 2046 2047 2048 2049 2050 城市人口比例 0.706333 0.706875 0.707363 0.707803 0.708199 年份 2051 2052 2053 2054 2055 城市人口比例 0.708555 0.708876 0.709164 0.709424 0.709658 年份 2056 2057 2058 2059 2060 城市人口比例 0.709868 0.710057 0.710227 0.710381 0.710518 年份 2061 2062 2063 2064 2065 城市人口比例 0.710642 0.710754 0.710854 0.710944 0.711025 年份 2066 2067 2068 2069 2070 城市人口比例 0.711098 0.711164 0.711223 0.711276 0.711324 年份 2071 2072 2073 2074 2075 城市人口比例 0.711367 0.711405 0.71144 0.711471 0.711499
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