发布时间 : 星期日 文章安徽省皖西南十校联考2018届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析更新完毕开始阅读e621e03f11a6f524ccbff121dd36a32d7375c7a2
∵∠CDA=120°，∴，∠DAC=30°，
∵∠BAC=60°，∴∠BAD=90°，即AB⊥AD， 又PA∩AC=A，∴AD⊥平面PAD． ∴MN⊥平面PAB． ∵MN?平面PMN， ∴平面PMN⊥平面PAB．
（2）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系， ∴B（4，0，0），C由（1）可知，
，
设平面PBC的一个法向量为则
，即
，
，则平面PBC的一个法向量为
．
，
，
，P（0，0，4）．
为平面PAC的法向量． ．
，
令z=3，得x=3，
设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则由题意值二面角A﹣PC﹣B是锐二面角， 则二面角A﹣PC﹣B余弦值为
．
21．已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C：直线x=c对称的图形过坐标原点．
+
=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围． 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的
图形过坐标原点，求出a，b，c，椭圆方程可求；
（2）线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+，和椭圆方程联立，把MA的斜率用直线l的斜率表示，由基本不等式求得范围． 【解答】解：（1）∵椭圆C过点（1，），∴
+
=1，①…
∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，… ∴
，②…
，…
…
由①②得a=2，b=∴椭圆C的方程为
（2）依题意，直线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+… 联立方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0 设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则 ∴y1+y2=﹣∴y0=﹣∴k=
，
， ，x0=
，
①当m=0时，k=0； ②当m≠0时，k=∵|4m+|=4|m|+
，
≥8，∴0＜|k|≤，∴﹣≤k≤且k≠0．
综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣≤k≤．…
22．设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．
（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围． （2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣请说明理由．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，可得函数的最大值，M＞0，所以有mln﹣m＞0，解之得m＞
．即可求m的取值范围．
﹣．构造函数h（x）=xlnx，g（x）=
﹣，证明h（x）
=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，
（2）m=1时，方程可化为xlnx=
＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，即可得出结论．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=
．
当m≤0时，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减． 当m≥1时，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增． 当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜此时f（x）在区间（0，
，由f'（x）＜0，得x＞
，
）内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减． ）=mln
﹣m．
所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f（因为M＞0，所以有mln所以m的取值范围是（
﹣m＞0，解之得m＞，1）．
﹣．
．
（2）m=1时，方程可化为xlnx=
设h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，
∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0， ∴h（x）min=h（）=﹣， 设g（x）=
﹣．g′（x）=
，
0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，
∴g（x）max=g（1）=﹣，
∵≠1，∴h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立， ∴方程xf（x）﹣
=﹣没有实数根．