发布时间 : 星期一 文章高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正更新完毕开始阅读e5e6f3eb3a3567ec102de2bd960590c69fc3d832
4
答案 (1)A (2)－
5
25
解析 (1)依题意得sin α＝1－cos2
α＝5
， cos(α＋β)＝±1－sin
2α＋β
＝±45
. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×25255＝25.
(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝4
53，
∴
32cos α＋34
2sin α＝5
3， 3(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝4
53， ∴sin(π6＋α)＝45
，
∴sin(α＋7π6)＝－sin(π4
6＋α)＝－5.
命题点2 三角函数式的变形
＋sin θ＋cos θ
θ例3 (1)化简：
2－cos θ
2
2＋2cos θ
(0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1
tan 5°－tan 5°)．
解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θπ
2<2，
∴cos θ
2>0，
∴2＋2cos θ＝
4cos
2
θ2＝2cos θ2
. 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θθ
2－cos 2
)
5
＝(2sin θ2cos θ2＋2cos2θ
2)(sin θ2－cos θ2) ＝2cos θ2(sin2θ2θ
2－cos2)
＝－2cos θ
2
cos θ.
－2cos θ
cos 故原式＝2
θ
＝－cos θ.
2cos
θ2
2
(2)原式＝2cos10°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°
cos 5°) 2
2
＝cos 10°cos5°－sin5°
2sin 10°－sin 10°·sin 5°cos 5° ＝
cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°
1
2
sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°
2sin 10°
＝
cos 10°－2sin30°－10°
2sin 10° cos 10°－213
＝2cos 10°－2
sin 10°2sin 10°
＝
3sin 10°3
2sin 10°＝2
. 引申探究
1＋sin θ－cos θ
sin θθ
化简：
2－cos
2
2－2cos θ
(0<θ<π)．解 ∵0<θπθ
2<2，∴2－2cos θ＝2sin 2，
又1＋sin θ－cos θ＝2sin θθ2θ
2cos 2＋2sin2
＝2sin θ2(sin θθ
2＋cos 2) 2sin θsin θ＋θsin θ∴原式＝
2
2cos 2
2－cos
θ2
2sin
θ
2
6
＝－cos θ.
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
α＋βα－β(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝2α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋βα
2)－(2
＋β)等．
(1)(2016·宿州模拟)若sin(π1π
4＋α)＝3，则cos(2
－2α)等于( A.42
9
B．－429 C.79
D．－79
(2)(2016·青岛模拟)化简(tan α＋1tan α)·12sin 2α－2cos2
α等于( )
A．cos2
α B．sin2
α C．cos 2α
D．－cos 2α
(3)计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝ . 答案 (1)D (2)D (3)1
解析 (1)∵sin(π1π1
4＋α)＝3，∴cos(4－α)＝3，
∴cos(π2－2α)＝cos 2(π4－α)＝2×19－1＝－7
9. (2)原式＝1sin αcos α·12sin 2α－2cos2
α
＝1－2cos2
α＝－cos 2α.
(3)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋3sin 10°
cos 10°
) ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°
cos 10°
21cos 10°＋3
sin 10°＝sin 50°×22
cos 10° ＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°
cos 10°
＝1.
－2，)
7
8．利用联系的观点进行角的变换
π4π
典例 (1)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为 ．
6512π
(2)若tan α＝2tan，则
5A．1 B．2 C．3 D．4
思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、α＋ββα
凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有＝(α－)－(－β)；α＝(α－β)＋β；
222πππ
α＋＝(α＋)－；15°＝45°－30°等．
1234π4
解析 (1)∵α为锐角且cos(α＋)＝>0，
65πππ
∴α＋∈(，)，
662π3
∴sin(α＋)＝.
65
πππ
∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－] 1264ππππ
＝sin 2(α＋)cos －cos 2(α＋)sin
6464ππ2π2
＝2sin(α＋)cos(α＋)－[2cos(α＋)－1]
662634242
＝2××－[2×()－1]
5525＝
12272172－＝. 255050
3π
α－10πα－
5πα＋
5πα－
5
3ππα－＋102πα－
5
3πα－
10πα－
5
等于( )
(2)＝
＝
ππ
sin αcos＋cos αsin
55
＝ ππ
sin αcos－cos αsin
55
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