发布时间 : 星期一 文章线性空间练习题更新完毕开始阅读e4b47a134431b90d6c85c7b4
线性空间练习题
一、单项选择题
R3中下列子集（ ）不是R3的子空间．
A．w1?{(x1,x2,x3)?R3|x2?1} B．w2?{(x1,x2,x3)?R3|x3?0} C．w3?{(x1,x2,x3)?R3|x1?x2?x3} D．w4?{(x1,x2,x3)?R3|x1?x2?x3} 二、判断题
n?n1.设V?Pn?n则W?{AA?P,A?0}是V的子空间.
2、已知V?{(a?bi,c?di)a,b,c,d?R}为R上的线性空间，则维(V）＝2. 3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组
?1,?2,?,?s线性表出，则维(W)＝s
4、设W是线性空间V的子空间，如果
??，??V，??W且??W,则必有
????W.
三、1．已知W1?{???a1?ab???W?{|a,b?R},2?c?00?1??0?2?2?|a,c?R},是的两个子空间，求R110??W1?W2,W1?W2的一个基和维数．
2．已知?关于基{?1,?2,?3}的坐标为（1，0，2），由基{?1,?2,?3}到基{?1,?2,?3}?324???的过渡矩阵为?100?，求?关于基{?1,?2,?3}的坐标．
?210???四、设Pn是数域P上的n维列向量空间，A?Pn?n且A2?A,
记W1?{AXX?Pn},W2?{XX?Pn,AX?0}, 1.证明：W1,W2都是Pn的子空间； 2. 证明：Pn?W1?W2.
线性变换练习题
一、填空题
1．设?1,?2,?3是线性空间V的一组基，V的一个线性变换
?在这组基下的矩阵是
A?(aij)3?3,??x1?1?x2?2?x3?3?V,则?在基?3,?2,?1下的矩阵B＝_________，而可逆矩阵T＝
_________满足B?TAT,??在基?1,?2,?3下的坐标为_________ . 2．设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间Pn的线性变换?： ?(?)?A?,则?(0)＝_______，dim??1(0)＝______，dim?(Pn)＝_____ . 3．复矩阵A?(aij)n?n的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ . 4．设?是n维线性空间V的线性变换，且?在任一基下的矩阵都相同，则?为________变换 . 5．数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为_______维线性空间，它与________同构.
6．设n阶矩阵A的全体特征值为?1,?2,?,?n，f(x)为任一多项式，则f(A)的全体特征值为________ .
?1?1??Pn,
????二、判断题
1．设?是线性空间V的一个线性变换，?1,?2,?,?s?V线性无关，则向量组?(?1),?(?2),?,?(?s)也线性无关. （ ）
2．设?为n维线性空间V的一个线性变换，则由?的秩＋?的零度＝n，有V??(V)??（ ）
3．在线性空间R中定义变换?：?(x,y)?(1?x,y)，则?是R的一个线性变换. （ ） 4．若?为n维线性空间V的一个线性变换，则?是可逆的当且仅当?(0)＝｛0｝. （ ） 5．设?为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若?(W)是V的一个子空间，则W必为V的子空间. （ ）
?1?1(0).
22三、计算与证明
?001???1．设A?11a，问a为何值时，矩阵A可对角化? ???100???并求一个可逆矩阵X,，使X-1AX=?..
2．在线性空间Pn中定义变换?：?(x1,x2,,xn)?(0,x2,,xn) （1）证明：?是Pn的线性变换. （2）求?(P)与?(0). （3）?(P)??(0)?P.
3．若A是一个n阶矩阵，且A2?A，则A的特征值只能是0和1.
n?1nn?1欧氏空间练习题
一、填空题
1．设V是一个欧氏空间， ??V，若对任意??V都有(?,?)?0，则?＝_________．
2．在欧氏空间R3中，向量??(1,0,?1)，??(0,1,0)，那么(?,?)＝_________，?＝_________． 3．在n维欧氏空间V中，向量?在标准正交基?1,?2,?,?n下的坐标是(x1,x2,?,xn)，那么(?,?i)＝_________，?＝_________．
4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________． 5．已知A是一个正交矩阵，那么A?1＝_________，A＝_________．
2二、判断题
221．在实线性空间R中，对于向量??(x1,x2),??(y1,y2)，定义(?,?)?(x1y1?x2y2?1)，那么R构成
欧氏空间。( )
nn2．在n维实线性空间R中，对于向量??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn)，定义(?,?)?a1b1，则R构成
欧氏空间。 ( )
3．?1,?2,?,?n是n维欧氏空间V的一组基，(x1,x2,?,xn),(y1,y2,?,yn)与分别是V中的向量?,?在这组基下的坐标，则(?,?)?x1y1?x2y2???xnyn。( ) 4．对于欧氏空间V中任意向量?，
1?是V中一个单位向量。( )
5．?1,?2,?,?n是n维欧氏空间的一组基，矩阵A?aij??n?n，其中aij?(?i,?j)，则A是正定矩阵。( )
6．设V是一个欧氏空间，?,??V，并且???，则???与???正交。( ) 7．设V是一个欧氏空间，?,??V,并且(?,?)?0，则?,?线性无关。( )
8．若?,?都是欧氏空间V的对称变换，则??也是对称变换。( )
三、计算题
1．把向量组?1?(2,?1,0)，?2?(2,0,1)扩充成R3中的一组标准正交基. 2．求正交矩阵T，使T?AT成对解角形。
?2?20???A???21?2?
?0?20???四、证明题
1．设A，B为同级正交矩阵，且A??B，证明：A?B?0． 2．设A为半正定矩阵，且A?0，证明：A?E?0．
3．证明：n维欧氏空间V与V同构的充要条件是，存在双射?:V?V?，并且??,??V 有
T小 测 验 九
一、填空题
??1?10???1、已知三维欧式空间V中有一组基?1,?2,?3，其度量矩阵为A???120?，则向量
?003?????2?1?3?2??3的长度为 。
?21??1??0?2?????R中的内积(?为,?)??A?,A?，则2、设?12??2??，?1??在此内积之下的度量矩阵
??????为 。
3、在n 维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为 。
4、在欧氏空间R中，已知??(2,1,3,2),??(1,2,?2,1)，则|?|? ，?与?的夹角为 （内积按通常的定义）。
5、设R为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式： 。 二、已知二次型
22f(x1,x2,x3)?t(x12?x2?x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3
4n（1）t为何值时二次型f是正定的？
（2）取t?1，用正交线性替换化二次型f为标准形
三、设?1,?2,?3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为