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数列应用题专题研究
解题思路：审题---建模---研究模型---返回实际
审题：（1）量（多个量）；
（2）量间的关系（规律）：等差、等比规律；递推关系； （3）与通项公式an有关或与前n项和sn有关等
典型例题剖析：
1.等差、等比数列类型（通项公式
an型或前n项和sn型）
例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本
1，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建51设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
4年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
解. (1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－第n年投入为800×(1－
1)万元，? 51n－1
)万元，所以，n年内的总投入为. 511n－1n1－4an=800+800×(1－)+?+800×(1－)=800×(1－)k1=4000×［1－()n］
5555k?1?第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+第n年旅游业收入400×(1+
1)，?， 41n－1
)万元. 所以，n年内的旅游业总收入为 411k－1n5－5bn=400+400×(1+)+?+400×(1+)=400×()k1=1600×［()n－1］
4444k?1?(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即1600×［(×［1－(
5n
)－1］－400044n42)］＞0，令x=()n，代入上式得. 5x2－7x+2＞0. 解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去). 55542即()n＜，由此得n≥5. ∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入
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2.一般数列（有时与等差、等比数列相关）
（1）通项公式an型。（2）前n项和sn型。（3）列举归纳规律类型（4）递推公式类型
例2.某地区2000年底有居民住房面积为a,现在居民住房划分为三类、其中危旧住房占1/3,新型住房占1/4,为加快住房建立`计划用10年的时间全部拆除危旧住房(每年拆除的数量相同),自2001年起居民住房只
建设新型住房.使得从2001年开始每年年底的新型住房面积都比上一年底增加20%,用an表示第n年底(2001年为第一年)该地区的居民住房总面积
(1)分别写出a1,a2,a3的表达式`并归纳出an的计算公式`不必证明.
(2)危旧住房全部拆除后`至少再过多少年才能使该地区居民住房总面积番两番?(精确到年lg2=0.30、lg3=0.48、lg43=1.63)
115111a?(?)a?a?a?a 解：（1）其它形式住房每年拆危旧住房面积
4312103301511a(1?20%)?a?a?a 则a1?41233015122a2?a(1?20%)?a?a?a4123301513 3a3?a(1?20%)?a?a?a41233015110?nna(1?20%)?a?a?a,(1?n?10) 一般的an?4123305110?n?1na(1?20%)?a?a?a,(1?n?10)??412330a??则n
?1a(1?20%)n?5a,(n?11)??41215na(1?20%)?a?4a解得n?15
（2）当n?11时，令
412例3.（2002年全国高考题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设每年新增汽车为b万辆，第n年末的汽车保有量为a n，则容易得到a n和a n－1的递推关系：
an?(1?6%)an?1?b?0.94an?1?b即an?(n?2)
50b＝0.94（an?1?50b）∴｛an?50b｝是以0.94为公比，以30?50b为首333350505050n－1n－1
·0.94，即an?·0.94 b＝（30?b）b+（30?b）
3333项的等比数列。∴an?50b≥0即b≤1.8时，an≤an-1≤??≤a1=30 350505050n－1
(2) 当30?·0.94］＝b b<0即b<1.8时liman＝lim［b+（30?b）
n??33n??33(1)当30?并且数列｛an｝为递增数列，可以任意接近≤60（n=1,2,3??），则
例4.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a
－
－2
50b，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即an350。综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆。 b≤60，即b≤3.6（万辆）
3，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. （Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.
解：（Ⅰ）我们有（Ⅱ）1Tn?Tn?1(1?r)?an(n≥2)．
T?a1，对n≥2反复使用上述关系式，
2T?T(1?r)?a?T(1?r)?an?1(1?r)?an?得nn?1nn?2
?a1(1?r)n?1?a2(1?r)n?2??an?1(1?r)?an，①
在①式两端同乘
1?r，得
?an?1(1?r)2?an(1?r)
?(1?r)]?an
②
(1?r)Tn?a1(1?r)n?a2(1?r)n?1?②?①，得rTn?a1(1?r)n?d[(1?r)n?1?(1?r)n?2?
d?[(1?r)n?1?r]?a1(1?r)n?an．
r．
a1r?da1r?ddnT?(1?r)?n?n2即
rrr2如果记An?a1r?da1r?ddn(1?r)B???n， ，n22rrr则
Tn?An?Bn．
a1r?d(1?r)为首项，以1?r(r?0)为公比的等比数列；?Bn?是以其中?An?是以2ra1r?dd??2rrd?为首项，
r为公差的等差数列．
例5.据报道，我国森林覆盖率逐年提高，现已达国土面积的14%，某林场去年底森林木材储存量为方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为现经过20年木材储存量翻两番的目标，问每年砍伐的木材量
解：设从今年起的每年年底木材储存量组成的数列为
xxa立
立方米，为了实
的最大值是多少？
?an?,则
25?5?a1?a?1???x?a?x;
4?100?25???5??5?a2?a1??1???x???a???1?x;
?100??4??4?225??a3?a2?1???x
?100?32??5??5???5????a????????1?x; 44?4?????????依次类推可归纳出
5an?an?1??x4n?1n?2??5??5??5????a?????????4??4????4?n?5??????1?x
?4???