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当牵连运动为任意运动形式时，上式都成立，它是点的加速度合成定理的普遍形式。证明见书P117。
ωe—将动系的转动角速度按右手螺旋法则以矢量表示。 ac的大小：2ωevrsinθ ωe ωe vr 方向⊥ωe和vr，指向按右手法则确定。 θ ωe ac 当ω∥v时(θ=0°或180°)，a=0
e
r
c
当ωe⊥vr时(θ=90°)，ac=2ωevr 当牵连运动为平移时，ωe =0，因此ac=0，∴aa=ae+ar
牵连运动为平移时点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。 二、特例说明
半径为r的圆盘绕中心O以匀角速度ω逆时针转动。圆盘边缘有一动点M，以相对速度vr=ωr沿边缘作圆周运动。试分析点M的速度与加速度。 1、动点—M，动系—固定于圆盘
2、运动分析：绝对运动—匀速圆周运动；相对运动—匀速圆周运动； 牵连运动—匀速转动
3、速度分析，画速度矢量图，求解速度 vr M a v va = ve + vr
v e ae ar 大小： ？ ωr ωr aa O 方向： ？ 向左 向左 ωe ∴va=ve+vr=2ωr，向左，匀速圆周运动 r 4、加速度分析
aa大小：aa=va2/r=4ω2r，方向指向圆心O ae大小：ae=rω2，方向指向圆心O
ar大小：ar= vr2/r=rω2，方向指向圆心O
ac大小：ac=2ωevrsinθ=2ω2r，方向指向圆心O，(ωe⊥圆盘向外。) 可见：aa=ae+ar+ac
例7.6 曲柄OA绕固定轴O转动，丁字形杆BC沿水平方向往复平移。铰接在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速转动，OA=r，试求杆BC的加速度。 解：因BC杆作平移，其上各点加速度相同。如将动系固定于BC，则牵连加速度即为BC杆的加速度。
1、动点—曲柄端点A，动系—固定于BC杆
D 2、运动分析 ae
绝对运动：以O为圆心的圆周运动 A ω ar 相对运动：沿DE滑槽的运动 O φ aa C 牵连运动：BC沿水平方向的平移 B
因牵连运动为平移，ac=0故aa=ae+ar
3、加速度分析，画加速度矢量图，求解 E aa = ae + ar
2
大小： rω ？ ？ 方向： 沿AO指向O 水平 沿DE 由图：ae=aacosφ=rω2cosφ
aBC= ae= rω2cosφ，方向：水平向左。
注：因曲柄作匀速转动，所以A点的绝对加速度只有法向分量。
例7.7 凸块水平向右加速运动，已知：R、v、a，求θ=60°时，从动杆AB的速
度与加速度。
B 解：因AB作平移，所以AB杆的速 τaa ar 度与加速度等于A点的速度与加速 v aA 度。 ae vr nθ R ar ve 1、动点—杆AB的端点A，动 v θ A O a 系—固定与凸块 n 2、运动分析：
绝对运动：沿AB的直线运动
相对运动：沿凸块边缘的曲线运动
牵连运动：凸块向右的平移 (因牵连运动为平移，ac=0故aa=ae+ar) 3、速度分析，画速度矢量图，求解速度 va = ve + vr 大小： ？ v ？
方向：沿AB 向右 与凸块圆周相切
由图：ve/va=tgθ，∴vAB= vA= va= vectgθ= vctg60°=(3/3)v，向上 vr=2 va=(23/3)v，与凸块边缘相切，斜向上 4、加速度分析，画加速度矢量图，求解加速度 因牵连运动为平移，故由加速度的合成定理：
aa = ae + arτ + arn
大小： ？ a ？ vr2/R 方向： 沿AB 水平向右 与凸块边缘相切 指向O 将以上矢量方程向n方向投影得：
矢量方程左边各项在某轴上的投影等于右边各项在同一轴上的投影。
-aasinθ= -aecosθ+arn
∴aAB=aA=aa=( aecosθ-arn)/sinθ=(acos60°- vr2/R)/sin60°
=(a/2-4v2/3R)(2/3)=3(3R a-8v2)/9R，向上
例7.8 已知OA以匀角速度ω=2rad/s绕轴O转动，OA=r=15cm，OO1=l=20cm。求当OA在水平位置时摇杆O1B的角速度和角加速度。
解：1、动点—OA上的A点，动系—固定于O1B
B η ac 2、运动分析 τ ω ae ar 绝对运动是以O为圆心的圆周运动 O aa A 相对运动是沿O1B的直线运动
n ae ? 牵连运动是O1B绕O1的转动
va 3、速度分析，画速度矢量图，求解速度。 αO1B O1 ωe ve vr va = ve + vr
大小：ωr ？ ？ 方向：⊥OA向上 ⊥O1A 沿O1B
由图：ve= vasin?=ωr(3/5)=230.153(3/5)=0.18m/s
ωO1B=ωe=ve/O1A=0.18/0.25=0.72rad/s，逆转 vr= vacos?=ωr(4/5)= 230.153(4/5)=0.24 m/s， 4、加速度分析，画加速度矢量图，求解加速度。
aa = aeτ+ aen + ar + ac
大小：ω2r ？ O1Aωe2 ? 2ωevr
方向：沿AO指向O ⊥O1B 沿AO1指向O1 沿O1B ⊥O1B向上 将加速度矢量方程向η轴投影得：
aacos?=aeτ+ ac
∴aeτ= aacos?-ac=ω2r(4/5)-2ωevr =430.153(4/5)-230.7230.24=0.1344m/s2 ∵aeτ=αO1BO1A，∴αO1B= aeτ/O1A=0.1344/0.25=0.54rad/s2，逆
第八章 刚体的平面运动
教学要求：
1、理解刚体平面运动的特征；
2、能用基点法、速度投影法和瞬心法求平面图形上各点的速度，能对常见的平面机构进行速度分析；
3、能用基点法求平面图形上各点的加速度。
第七章讨论的刚体平移与定轴转动是最常见、简单的刚体运动。刚体还可以有更复杂的运动形式，刚体的平面运动是机械工程中较为常见的一种刚体运动；它可以看作平移与转动的合成，也可以看作绕不断运动的轴的转动。本章将分析刚体平面运动的分解、平面运动刚体的角速度、角加速度，以及刚体上各点的速度和加速度。
§8-1 刚体平面运动的概述和运动分解
一、平面运动
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。
平面运动刚体上的各点都在平行于某一固定平面的平面内运动。
例：沿直线轨道滚动的车轮，平面曲柄连杆机构中AB的运动，平面四杆机构中连杆AB的运动。
二、刚体平面运动的简化
A v B B A S 如图一作平面运动的刚体，用一平行于固定面的平面截割刚体得一平面图形，该平面图形内任一点始终在该平面内运动。过图形上任一点作垂直于图形的直线，则当刚体作平面运动时，该直线作平移。因此，平面图形上的点与直线上各点的运动相同。因此平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点的运动。
O 刚体的平面运动可简化为平面图形S在其自身平面内的运动。
三、平面运动的分解
y y' M O’ ? x' x 平面图形在其平面上的位臵完全可由图形内任意线段的位臵来确定，而要确定此线段在平面内的位臵，只需确定线段上任意一点的位臵及线段与x轴夹角即可。
1、平面图形的运动方程： xo’=f1(t)，yo'= f2(t)，?= f3(t) 2、平面运动的分解
运动方程分两部分：一部分是按O’点运动方程的平移，没有转动；另一部分是绕O’点的转动。
基点—平面图形上任取一点O’，其上安上平移参考系o’x’y’，一般o’x’y’与定坐标系oxy各轴平行。
平面图形的平面运动可看成为随基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成。
y’ x’ y’ x’ 例沿直线轨道滚动的车轮：
可取车厢为动参考体，以轮心为原点建立动参考系。
车轮的平面运动=车厢的平移+车轮绕O’的转动 单独的轮子作平面运动时，可在轮心固连平移参考系，同样可把轮子的平面运动分解为平移和转动的合成。
O’ O’