发布时间 : 星期四 文章专题08 平面解析几何(解答题) -三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编(含解析)更新完毕开始阅读e1f7e34192c69ec3d5bbfd0a79563c1ec5dad7df
【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
，0)为抛物线y2?2px(p?0)的焦点，过点F的直线7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点F(1交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2． （1）求p的值及抛物线的准线方程；
S1（2）求的最小值及此时点G的坐标．
S2
【答案】（1）p=2，准线方程为x=?1；（2）最小值为1?
3，此时G（2，0）． 2【解析】（1）由题意得
p?1，即p=2. 2所以，抛物线的准线方程为x=?1.
2（2）设A?xA,yA?,B?xB,yB?,C?xc,yc?，重心G?xG,yG?.令yA?2t,t?0，则xA?t.
t2?1由于直线AB过F，故直线AB方程为x?y?1，代入y2?4x，得
2t
y2?2?t2?1?ty?4?0，
2?12?B2ty??4y??故，即B，所以?2,??. Bt?t?t又由于xG?112?xA?xB?xc?,yG??yA?yB?yc?及重心G在x轴上，故2t??yc?0，得33t??1?2?1???2t4?2t2?2?C???t?,2??t??,G?,0?. 2??t??t???3t???所以，直线AC方程为y?2t?2tx?t?2?，得Q?t2?1,0?.
由于Q在焦点F的右侧，故t2?2.从而
422t?2t?21?1?|2t||FG|?yA23tS122t4?t2t2?2.
???4?2?4422t?2t?22S21|QG|?yt?1t?12|t?1?|?|?2t|c23t2t令m?t2?2，则m>0，
S1m113?2?2?2?…2??1?3S2m?4m?32. 3m??42m??4mmS13当m?3时，取得最小值1?，此时G（2，0）．
S22【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
8．【2017年高考全国III卷理数】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，
圆M是以线段AB为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P?4,?2?，求直线l与圆M的方程.
【答案】（1）见解析；（2）直线l的方程为x?y?2?0，圆M的方程为?x?3???y?1??10，
229??1?85? 或直线l的方程为2x?y?4?0，圆M的方程为?x????y???4??2?16?【解析】（1）设A?x1,y1?,B?x2,y2?，l:x?my?2.
22
?x?my?2, 可得y2?2my?4?0，则y1y2??4. 由?2?y?2x2y12y2?yy?又x1?，故xx?12?4. ,x2?122242因此OA的斜率与OB的斜率之积为故坐标原点O在圆M上.
y1y2?4????1，所以OA?OB. x1x24（2）由（1）可得y1?y2?2m,x1?x2?m?y1?y2??4?2m?4.
2故圆心M的坐标为m?2,m，圆M的半径r??2??m2?2??m2.
2由于圆M过点P?4,?2?，因此AP?BP?0，故?x1?4??x2?4???y1?2??y2?2??0， 即x1x2?4?x1?x2??y1y2?2?y1?y2??20?0， 由（1）可得y1y2??4,x1x2?4.
所以2m2?m?1?0，解得m?1或m??uuuruuur1. 2当m?1时，直线l的方程为x?y?2?0，圆心M的坐标为?3,1?，圆M的半径为10，圆M的方程为?x?3???y?1??10. 当m??221?91?时，直线l的方程为2x?y?4?0，圆心M的坐标为?,??，圆M的半径为2?42?229??1?8585?. ，圆M 的方程为?x????y???4??2?164?【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证??0或说明中点在曲线内部.
22xy9．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、
ab右焦点分别为F1，F2，离心率为
1，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一2象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2． （1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
x2y2a2（注：椭圆2?2?1(a?b?0)的准线方程：x??）
abc
x2y24737【答案】（1）（2）(??1；,)．
4377【解析】（1）设椭圆的半焦距为c．
c12a21因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以?，?8，
a22c解得a?2,c?1， 于是b?a2?c2?3，
x2y2因此椭圆E的标准方程是??1．
43（2）由（1）知，F1(?1,0)，F2(1,0)． 设P(x0,y0)，
因为P为第一象限的点，故x0?0,y0?0． 当x0?1时，l2与l1相交于F1，与题设不符． 当x0?1时，直线PF1的斜率为
y0y0，直线PF2的斜率为． x0?1x0?1x0?1x0?1，直线l2的斜率为?， y0y0因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为?从而直线l1的方程：y??x0?1(x?1) ①， y0