发布时间 : 星期六 文章八年级数学下册《数据的代表》教案 新人教版更新完毕开始阅读e14301720812a21614791711cc7931b765ce7b22
《数据的代表》教案
一、要点回顾
1.一般地，对于n个数我们把叫做这n个数的 ，简称平均数，记作. 2.平均数有算术平均数和加权平均数两种，其中加权平均数的公式是：，分别是数据的 ，一个数据的权，能够反映这个数据的相对“重要程度”，在具体的问题中，数据的权可以是一个数据出现的次数，也可以是一个数据占总量的比或百分比，因此加权平均数在实际生活中有着广泛的应用.
3.平均数是反映一组数据的 水平的特征数，反映一组数据的集中趋势.平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化. 4.一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的 .
5.一组数据的中位数只有一个，把一组数据按大小顺序排列，当数据的个数为 时，中位数是最中间的两个数的平均数，当数据的个数为 时，中位数是最中间的那个数. 6.在一组数据中存在极大或极小值时，平均数不能准确表示数据的集中情况，而 不受极大或极小值的影响，因此 能较准确反映数据的集中情况.
7.一般地，在一组数据中，出现次数最多的那个数据叫做这组数据的 .
8.众数在数据中出现的次数最频繁，说明该数值在数据中最具有代表性.在一组数据中，若无极大值、极小值，且这组数据比较接近时， 可表示这组数据的集中情况.并不是每一组数据都具有众数，只有当数组中不同数值的数据出现的次数具有明显的差异时，才有众数，众数也可能是不惟一的. 二、考点例析
1.平均数
平均数反映了一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心”，是度量一组数据波动大小的最重要的因素.从近几年中考来看，多以考查平均数的求法，当所给数据比较分散时，一般利用定义公式来求.在一组数据中，各个数据的“重要程度”未必相同，当在计算这组数据的平均数时，常常会给每个数据加个“权”，此时要选用加权平均数公式.
例1(2009武汉)小明记录了今年元月份某五天的最低温度（单位：℃）：1，2，0，，，这五天的最低温度的平均值是（ ）
A.1 B.2 C.0 D. 析解：由平均数的定义公式可得，因此选C.
评注：本题考查了一组数据算术平均数的求法，同学们应该掌握好平均数的求法等这些基础知识.
例2（2009年内蒙古包头）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
测试项目 教学能力 科研能力 组织能力 测试成绩 甲 85 70 64 乙 73 71 72 丙 73 65 84 （1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由.
析解：本题考查平均数和加权平均数的知识及它们在生活中的应用，特别是加权平均数尤为重要.
（1）甲的平均成绩为：（分） 乙的平均成绩为：（分） 丙的平均成绩为：（分） 因此候选人丙将被录用.
（2）根据题意3人的测试成绩如下： 甲的测度成绩为：（分） 乙的测度成绩为：（分） 丙的测度成绩为：（分） 因此候选人甲将被录用. 评注：本题考查了算术平均数和加权平均数的求法以及在生活中的应用，同学们在复习时要注意选择哪种方式来求平均数，在利用加权平均数公式求平均数时，要注意权的不同表示形式：整数比或百分数.如本题（2）中可以修改为教学能力占50%，科研能力占30%，组织能力占20%，这与教学、科研和组织三项能力的比值是5∶3∶2的描述是一样的.本题来源于课本的例题，在复习时同学们要加强对课本上的题目的钻研.
2.中位数
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.在求一组数据的中位数时要先将这组数据按大小顺序排列，若数据的个数为偶数时，则最中间的一个数据为这组数据的中位数，若数据的个数为偶数时，则最中间的两个数据的平均数为这组数据的中位数.
例3(2009年河北)在一周内，小明坚持自测体温，每天3次．测量结果统计如下表： 体温（℃） 次 数 36.1 2 36.2 3 36.3 4 36.4 6 36.5 3 36.6 1 36.7 2 则这些体温的中位数是 ℃.
析解：从统计表可以看出共有21个数据，将这组数据按照由小到大的顺序排列后，第11个数据就是这组数据的中位数，因此这些体温的中位数是36.4℃.
评注：本题考查了中位数的概念和中位数的求法，在求一组数据的中位数时一定要先将这组数据按照一定的顺序排列，然后再找出最中间的数.
3.众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.在求一组数据的众数时，一般先数清各个数据重复出现的次数，然后找出这组数据中出现次数最多的数据就可以了，要注意一组数据的众数有时不止一个，也可以没有众数，当各个数据重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义.
例4（2009年广州市）在某校举行的艺术节的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，则这组数据的众数是________.
析解：在这组数据中9.3共出现了4次，出现的次数最多，由众数的定义可知，这组数据的众数是9.3.
评注：本题以实际问题为背景，对众数的概念和众数的求法进行了考查.
例5（2009山西省太原市）学业考试体育测试结束后，某班体育委员将本班50名学生的测试成绩制成如下的统计表．这个班学生体育测试成绩的众数是（ ）
成绩（分） 人数（人） 20 1 21 1 22 2 23 4 24 5 25 6 26 5 27 8 28 10 29 6 30 2 A.30分 B.28分 C.25分 D.10人
析解：众数是一组数据中出现次数最多的数，由表知28分的人数最多是10人，所以众数是28分，故选B.
评注：本题考查了众数在实际生活中的应用，众数是一组数据中出现次数最多的数据，不要误认为是出现的次数，而是这组数据中的某个数据.
4.平均数、中位数、众数的综合应用
平均数、中位数、众数都是数据的代表，都能用来刻画一组数据的平均水平，表示数据的集中情况.平均数在计算时应用了所有数据，但平均数容易受极端值影响，因此平均数不能准确表示数据的集中情况；中位数计算简单，不受极端值影响，但不能充分利用所有数据；众数求解简单，但当各个数据的重复此时相等时，没有多大的意义.
例6（2009年烟台市）某校初一年级有六个班，一次测试后，分别求得各个班级学生成绩的平均数，它们不完全相同，下列说法正确的是（ ）
A.全年级学生的平均成绩一定在这六个平均成绩的最小值与最大值之间 B.将六个平均成绩之和除以6，就得到全年级学生的平均成绩 C.这六个平均成绩的中位数就是全年级学生的平均成绩 D.这六个平均成绩的众数不可能是全年级学生的平均成绩 析解：设6个班级的平均成绩和人数分别如下表所示 班级 平均成绩 人数 1班 2班 3班 4班 5班 6班 a1 n1 a2 n2 a3 n3 a4 n4 a5 n5 a6 n6 从表格中可以看出全年级学生的平均成绩可以表示为 ，
从这个式子可以看出，全年级学生的平均成绩一定在这六个平均成绩的最小值与最大值之间，因此选项A正确；因为各个班的平均成绩不完全相同，因此B选项将六个平均成绩之和除以6，就得到全年级学生的平均成绩是错误的，只有当6个班的人数完全相等时，此时设n1= n2= n3= n4= n5= n6=n，则
全年级学生的平均成绩才等于将六个平均成绩之和除以6；六个班平均成绩的中位数只是将6个班的平均成绩按照一定的顺序排列以后，取中间两个数的平均值，所有的学生成绩并没有全部参与运算，因此这六个平均成绩的中位数不能表示全年级学生的平均成绩，故选项C错误；六个平均成绩的众数表示的是六个班中平均成绩出现次数最多的数字，这个数字有可能等于全年级学生的平均成绩.故本题选A.
评注：本题以实际问题为背景，综合考查了同学们对平均数、中位数、众数的理解. 三、易错警示
1.混淆算术平均数与加权平均数
例1某商场将单价为14元/千克的甲种糖果10千克，单价为12元/千克的乙种糖果10千克，单价为10元/千克的丙种糖果40千克混合成什锦糖果，该商场将这种混合什锦糖果的单价定位多少进行出售较合理?
错解：这种混合什锦糖果的单价应定为元/千克. 剖析：因混合的这三种糖果的质量不完全相等，因此不能用单价的算术平均数作为混合糖果的价格，应将三种糖果的质量分别作为三种糖果价格的“权”，利用加权平均数计算混合什锦糖果的单价.
正解：这种混合什锦糖果的单价应定为元/千克. 2.求中位数时没有将原数据按照一定的顺序排列
例2在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组7名同学捐款的金额（单位：元）分别为：6，3，6，5，5，6，9.这组数据的中位数是（ ）
A.5 B.5.5 C.6 D.9 错解：选A. 剖析：在求一组数据的中位数时首先要将这组数据按照一定的顺序（由大到小的顺序或者由小到大的顺序）重新排列，处在中间（或最中间的两个数据的平均数）的数据就是中位数.本组数据重新排列后为：3，5，5，6，6，6，9，因此中位数是6.错解的原因是没有将这组数据按一定顺序重新排列.
正解：选C.
3.误把众数当作某个数据出现的次数
例3王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位：小时）：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5．求这10个数据的众数.
错解：因为这10个数据中2.5出现了4次，出现的次数最多，因此这10个数据的众数是4.
剖析：一组数据的众数是指这组数据中出现次数最多的数据，而不是这个数据出现的次数.
正解：在这10个数据中2.5出现了4次，出现的次数最多，由众数的定义知这10个数据的众数是2.5小时.
4.忽视一组数据的众数不止一个
例4某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：67，59，61，59，61，57，70，59，61，求这组数据的众数.
错解：在这组数据中59出现了3次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是59千克. 剖析：在这组数据中59出现了3次，61也出现了3次，在一组数据中当几个数据出现最多的次数相同时，这几个数据都为众数，错解中漏掉了一个众数.
正解：在这组数据中，59和61都出现了3次，并且次数最多，因此这组数据的众数是59千克和61千克. 四、复习建议
从近几年的中考来看，本章的知识几乎是中考必考内容，考查形式不仅出现在传统的选择题、填空题中，以解答题的形式出现的趋势在逐渐增多，试题的选材往往与实际生活有关，关注社会热点，因此在复习本章时同学们要注意以下几点：1.要真正理解算术平均数、加权平均数、中位数、众数的概念；2.掌握求算术平均数、加权平均数、中位数、众数的方法；3.理解平均数、中位数、众数的意义；4.理解在何种情况下选择哪个量作为数据的代表.