发布时间 : 星期二 文章高中数学第二章向量在物理中的应用举例例题讲解素材北师大版必修4更新完毕开始阅读e11e3ebbcd22bcd126fff705cc17552706225e79
向量在物理中的应用举例
向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念.物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决.用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．
１．解决力学问题
例1 质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为?，求斜面对于物体的摩擦力和支持力的大小．
解：如图1，物体受三个力：重力G（竖直向下，大小为mgＮ），斜面对物体的支持力F（垂直于斜面，向上，设其大小为
FＮ），摩擦力
f（与斜面平行，向上，大小为
fＮ）．
由于物体静止，故这三个力平衡，合力为0， 即G?F?f?0． ①
记垂直于斜面向下、大小为1N的力为e1，与斜面平行向下、大小为1N的力为e2，以e1，
e2为基底，则F?(?F，0)，f?(0，?f)，由e1旋转到G方向的角为?，则
G?(mgcos?，mgsin?)．
（mgcos??f由①得过且过G?mgcos??F?F?f??F，mgsin??f）?(0，0)，
?0，mgsin?f?0，
故
F?mgcos?，
?mgsin?．
例2 有两根柱子相距20m，分别位于电车的两侧，在两柱之间连结一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8N，则这条成水平的绳子的中点下降0.2m，求此时绳子所受的张力． 解：如图2所示，设重力作用点为C，绳子AC，BC所承受
CF，重力记为CG．由C为绳子的中点知的力分别记为CE，CE?CF．
1
由CE 又
?CF?CG，知四边形CFGE为菱形．
0.210?(0.2)22cos?FCG?cos?DCB??0.02，
1?CE?CF?2CG?8.90.02cos?FCG?445．
即绳子所受的张力为445N．
2．解决与位移、速度有关的问题
例3 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南
30，风速为4m/s，这时气象台报告实际风速为2m/s．试求风的实际方向和汽车的速度大
小．
分析：这是一个需要用向量知识解决的物理问题，因此，先要用物理概念建立解题意向，再使用向量形象描述，进而分析题意，创建数学模型，最后利用解直角三角形的技巧把问题解决．
解：依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地．
风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地如图3，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段AD是线．
AC?4m/s?v风车?v车地．
ACDB的对角
，?ACD．
?30，AD?2m/s，
??ADC?90在Rt△ADC中，
DC?AC·cos30?23(m/s)．
3m/s即风向的实际方向是正南方向；汽车速度的大小为2
．
例4 一位模型赛车手摇控一辆赛车，向正东方向前进1米，逆时针方向转弯?度，继续按直线向前行进1米，再按逆时针方向转变?度，按直线向前行进1米，按此法继续操作
2
下去．
（1） 作图说明，当??45时，操作几次赛车的位移为0．
（2） 若按此操作赛车能回到出发点，?应满足什么条件，请写出其中两个． 解：（1）作图，如图4，赛车位移路线构成一个正八边形． 赛车所行路程为8米，操作8次赛车的位移为0．
（2）若按此法操作n次赛车能回到出发点，则操作n次赛车的位 移为0，赛车位移路线构成一个正n边形，由平面几何知识，n?（多边形外角和定理），?n 若? 若??60?15?360?360?(n≥3且n?N)?．
，则n，则n?6，即操作6次可回到起点． ，即操作24次可回到起点．
?24 评注：本题是向量位移的应用，培养了同学们动手操作绘图能力，分析问题及解决问题的能力．
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