发布时间 : 星期日 文章高考数学复习专题04 平面向量及其应用单元测试(解析版)更新完毕开始阅读e1189a7dbb0d6c85ec3a87c24028915f804d8407
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解析 由正弦定理，得b＝sinA＝3a.由a＋b＝a＋3a＝3，解得a＝33－32. 14．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
答案 －3
解析 由向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则?2m＋n＝9，?m＝2，?解得?故m－n＝－3. ?m－2n＝－8，?n＝5，
→→→
15．设O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|OD＋2OE|＝1，则|OA→→
＋2OB＋3OC|＝________.
答案 2
→→→→→→→→→
解析 如图所示，易知|OA＋2OB＋3OC|＝|OA＋OC＋2(OB＋OC)|＝|2OD＋4OE|→→
＝2|OD＋2OE|＝2.
→→
16．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
→→
①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC. 答案 ①④⑤
→→→→
1
解析 ∵AB＝2a，AC＝2a＋b，∴a＝2AB，b＝BC.又△ABC是边长为2的等边三角形，
→→→→
∴|a|＝1，|b|＝2，①正确，②，③错误；由b＝BC，知b∥BC，④正确；∵4a＋b＝2AB＋BC→→→→→→→＝AB＋AC，∴(4a＋b)·BC＝(AB＋AC)·BC＝－2＋2＝0，∴(4a＋b)⊥BC，⑤正确．故①④⑤正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值． 解 解法一：∵|3a－2b|＝3， ∴9a2－12a·b＋4b2＝9. 1
又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝3. ∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2 1＝9＋6×3＋1＝12. ∴|3a＋b|＝23.
解法二：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
222
∵|a|＝|b|＝1，∴x1＋y1＝x22＋y2＝1.
∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，
∴|3a－2b|＝?3x1－2x2?2＋?3y1－2y2?2＝3. 1∴x1x2＋y1y2＝3. ∴|3a＋b|＝?3x1＋x2?2＋?3y1＋y2?2 ＝
19＋1＋6×3＝23.
3
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosC＝5. →→
9
(1)若CB·CA＝2，求△ABC的面积；
BB????
(2)设向量x＝?2sin2，3?，y＝?cosB，cos2?，且x∥y，求sin(B－A)的值．
????→→
99
解 (1)由CB·CA＝2，得abcosC＝2. 3915又因为cosC＝5，所以ab＝2cosC＝2. 4
又C为△ABC的内角，所以sinC＝5. 1
所以△ABC的面积S＝2absinC＝3.
BB
(2)因为x∥y，所以2sin2cos2＝3cosB， 即sinB＝3cosB，
因为cosB≠0，所以tanB＝3. π
因为B为三角形的内角，所以B＝3. 2π2π
所以A＋C＝3，所以A＝3－C. π??π??
所以sin(B－A)＝sin?3－A?＝sin?C－3?
????1314334－33
＝2sinC－2cosC＝2×－
52×5＝10.
19．(本小题满分12分)已知|a|＝10，|b|＝5，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b. (1)当b⊥c时，求实数x的值；
(2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．
解 (1)∵b⊥c，∴b·c＝b·[xa＋(1－x)b]＝xb·a＋(1－x)b2＝x×(－5)＋(1－x)×5＝0， 1
解得x＝2.
(2)|c|2＝|xa＋(1－x)b|2＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2＝10x2－10x(1－x)＋5(x－1)2＝25x2－20x＋5
?2?＝25?x－5?2＋1.
??
2
当x＝5时，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1. 23
此时，c＝5a＋5b.
3?223?2
?5a＋5b?＝a＋a·a·c＝a·5b ??523
＝5×10＋5×(－5)＝1，
a·c设向量a，c的夹角为θ，当|c|取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值cosθ＝|a||c|＝10＝10. 20．(本小题满分12分)一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2000 km，求飞机从B地到C地的位移．
解 如下图，设A地在东西基线和南北基线的交点处．
1
1×10
则A(0,0)，B(－1000cos30°，1000sin30°)，
即B(－5003，500)，C(－2000cos30°，－2000sin30°)， 即C(－10003，－1000)． →
∴BC＝(－5003，－1500)． →∴|BC|＝
?－5003?2＋?－1500?2＝10003 (km)．
设正南方向的单位向量为j＝(0，－1)， →
则BC与正南方向的夹角θ满足 →BC·j15003
cosθ＝→＝＝2，
10003
|BC||j|
→
∴θ＝30°，由图形可知BC的方向是南偏西30°.
21．(本小题满分12分)设a，b是不共线的两个非零向量．
→→→
(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
→→→
(3)若AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值． →→→→→→
解 (1)证明：因为AB＝OB－OA＝a＋2b，AC＝OC－OA＝－a－2b， →→
所以AC＝－AB.又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线．