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2015新课标高考总复习
数 学（理）
【解析】 函数y＝f(x)以2为周期，y＝g(x)是偶函数，画出图象可知有8个交点．
【答案】 8
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围．并求出该零点．
【解】 ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0. 当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)． ∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时， t2＋mt＋1＝0有两正或两负根， 即f(x)有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0. 11．(12分)已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a：
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
1??
0，(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及?内各有一个零点，求实数a的范围． 2???【解】 (1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题； 依题意：f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根 ∵Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立， 即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根． 1??
(2)依题意：要使y＝f(x)在区间(－1,0)及?0，2?内各有一个零点
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2015新课标高考总复习
数 学（理）
f?－1?＞0，??f?0?＜0，只须?
?1???＞0，f???2?13解得：2＜a＜4. 故实数a
3－4a＞0，??1－2a＜0，即?3??4－a＞0，
???13
的取值范围为?a?2＜a＜4
???
??
?. ??
12．(13分)(2014·郑州模拟)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围． 【解】 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)． ∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)] ＝－x2－2x，
2
?x－2x，x≥0，
∴f(x)＝?2
－x－2x，x＜0.?
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1， 最小值为－1；
当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，根据图象，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．
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