发布时间 : 星期日 文章专题六 二次函数综合题 类型一 点问题更新完毕开始阅读e055b52578563c1ec5da50e2524de518974bd34c
专题六 二次函数综合题
考情分析:2017.25;2016年4考;2015年5考.考查背景有:二次函数、二次函数与一次函数结合、二次函数与圆结合.涉及的变换有动点问题、图形平移问题.
类型一 点问题 2
例1 (2017·河南)如图,直线y=-x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛
3
4
物线y=-x2+bx+c经过点A,B.
3
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;
(2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.
①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;
②点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“和谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值.
例1题图
备用图
【思路点拨】(1)将A点坐标代入一次函数解析式可得点C,通过一次函数解析式可得点B坐标,将A,B两点坐标代入抛物线解析式即可;(2)∠BPN与∠APM恒相等,则需分两种情况讨论即可;(3)分点P,M,N分别为“共谐点”时分类讨论.
2
解:(1)∵直线y=-x+c过A(3,0),
32
∴将点A代入得-×3+c=0,解得c=2,
3
2
∴直线AB的表达式为y=-x+2,
3
∴B(0,2).
4
∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(3,0),B(0,2),
3
4??-3×9+3b+c=0,
∴将A,B两点代入有?,
??c=2.
10??b=3,解得?
??c=2.
410
∴y=-x2+x+2;
33
(2)依题可知:M(m,0),
2410
∵NM⊥x轴交直线y=-x+2于点P,交抛物线y=-x2+x+2于点N,
333
4102
∴N(m,-m2+m+2),P(m,-m+2).
333
∵△APM相似于△BPN, ①当△APM∽△BPN时, 则∠AMP=∠BNP=90°, ∴BN∥x轴,
∴B,N的纵坐标相同,都为2,
410
∴-m2+m+2=2,
33
5
解得:m1=0,m2=. 2
∵当m=0时,P,N与B重合, ∴△BPN不存在,故舍去.
5
∴M(,0);
2
②当△APM∽△NPB时,则∠BNP=∠MAP,
如解图,过点B作BH⊥MN于点H,则H(m,2),
例1题解图
∵∠BNP=∠MAP,
∴tan∠BNP=tan∠MAP,
BHOB2∴即==,
NHOA3
m2
∴=,
4103-m2+m+2-233
11
解得:m1=0(舍去),m2=,
8
11
∴M(,0),
8
511
∴点M的坐标为(,0)或(,0);
28
11
(3)或-或-1. 24
【解法提示】①当点P为“共谐点”的中点时,则一次函数图象在抛物线与x轴之间,
4102
∵点N(m,-m2+m+2),P(m,-m+2),
333
410
-m2+m+2332
由“共谐点”的定义得:=-m+2,
23
1
解得m1=,m2=3(舍去,此时点P,M,N重合);
2
②点M为“共谐点”的中点时,
则x轴在一次函数图象与抛物线之间, 由“共谐点”的定义得:
4102
(-m2+m+2)+(-m+2)
333
=0,
2
解得m1=-1,m2=3(舍去,此时点P,M,N重合); ③当点N为“共谐点”的中点时, 则抛物线在一次函数图象与x轴之间,
2
-m+23410
由“共谐点”的定义得:=-m2+m+2,
233
1
解得m1=-,m2=3(舍去,此时点P,M,N重点).
411
故当m为或-或-1时,点M,P,N三点成为“共谐点”.
24
【针对练习】 1.(2017·连云港)如图,已知二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(3,0),B(4,1),且与y轴交于点C,连接AB、AC、BC.
第1题图
(1)求此二次函数的关系式;
(2)判断△ABC的形状;若△ABC的外接圆记为⊙M,请直接写出圆心M的坐标; (3)若将抛物线沿射线BA方向平移,平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1,△A1B1C1的外接圆记为⊙M1,是否存在某个位置,使⊙M1经过原点?若存在,求出此时抛物线的关系式;若不存在,请说明理由.
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解:(1)二次函数的关系式为y=x2-x+3;
22
(2)△ABC为直角三角形.
如解图,过点B作BD⊥x轴于点D, 由(1)知点C坐标为(0,3), ∴OA=OC,∴∠OAC=45°, 又B(4,1),∴AD=BD, ∴∠BAD=45°,∴∠BAC=180°-45°-45°=90°, ∴△ABC为直角三角形,圆心M的坐标为(2,2);
第1题解图
(3)存在.
如解图,取BC中点M,过点M作ME⊥y轴于点E, ∵M的坐标为(2,2),
∴MC=22+12=5,OM=22, ∴∠MOA=45°, 又∵∠BAD=45°,
∴OM∥AB,
∴要使抛物线沿射线BA方向平移,且使⊙M1经过原点, 则平移的长度为22-5或22+5. ∵∠BAD=45°.
22-54-1022+54+10
∴抛物线的顶点向左、向下均平移=个单位长度或=
2222
个单位长度.
15151∵y=x2-x+3=(x-)2-. 22228
154-10214-10
∴平移后抛物线的关系式为y=(x-+)--,
22282
1+10217-4101
即y=(x-)-,
228154+10214+10或y=(x-+)--,
22282
1-10217+4101
即y=(x-)-.
228
1+1021
综上所述,存在一个位置,使⊙M经过原点,此时抛物线的关系式为:y=(x-)22
17-4101-10217+4101-或y=(x-)-. 8228
第2题图
323
2.(2017·山西)如图,抛物线y=-x2+x+33与x轴交于A、B两点(点A在点
93
B的左侧),与y轴交于点C,连接AC、BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动,同时,点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动,连接PQ,过点Q作QD⊥x轴,与抛物线交于点D,与BC交于点E,连接PD,与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t>0).
(1)求直线BC的函数表达式;
(2)①直接写出P,D两点的坐标;(用含t的代数式表示,结果需化简) ②在点P、Q运动的过程中,当PQ=PD时,求t的值;
(3)试探究在点P,Q运动的过程中,是否存在某一时刻,使得点F为PD的中点?若存在,请直接写出此时t的值与点F的坐标;若不存在,请说明理由.
3解:(1)直线BC的函数表达式为y=-x+33;
3
t343283
(2)①P(-3,t),D(9-2t,-t+t);
2293
【解法提示】由(1)可知A(-3,0),C(0,33),∴∠CAO=60°,如解图,过点P作
t3t3
PG⊥x轴于点G,∵AP=t,∴AG=,PG=t,∴P(-3,t),
2222
又∵BQ=2t,B(9,0),∴OQ=9-2t,∴点D的横坐标为9-2t,将x=9-2t代入抛
4328343283
物线解析式得y=-t+t,∴D(9-2t,-t+t).
9393
第2题解图
②如解图,过点P作PH⊥QD于点H, ∵QD⊥x轴,∴四边形PGQH是矩形,
∴HQ=PG,∵PQ=PD,PH⊥QD,∴DQ=2HQ=2PG, t343283
∵P,D两点的坐标分别为(-3,t),(9-2t,-t+t),
2293
432833∴-t+t=2×t,
932
1515
解得t1=0(舍去),t2=,∴当PQ=PD时,t的值为.
44
3113
(3)当t=3时,F为PD的中点,此时F(,).
44
t3432833
【解法提示】当F为PD中点时,∵P(-3,t),D(9-2t,-t+t),∴点F(3-
22934t,-
23219323219333
t+t),∵点F在直线BC上,则-t+t=-(3-t)+33,∴t2-91291234
31136t+9=0,解得t=3,∵0≤t≤4.5,∴t=3符合条件,此时,F(,).
44