发布时间 : 星期日 文章人教版九年级数学上册第二十二章二次函数 知识点总结更新完毕开始阅读dff34ae72bf90242a8956bec0975f46526d3a799
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第二十二章 二次函数
一、二次函数的有关概念: 1、二次函数的定义:
2y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0)的函数,叫做二次函数。一般地,形如
2、二次函数解析式的表示方法
2y?ax?bx?c(a,b,c为常数,a?0)(1) 一般式:; 2y?a(x?h)?k(a,h,k为常数,a?0)(2) 顶点式:;
(3)两根式:y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
2二、二次函数y?ax?bx?c图象的画法
1.基本方法:描点法
2y?ax?bx?c化为顶点式注:五点绘图法。利用配方法将二次函数
y?a(x?h)2?k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左
右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点?0,c?、以及
?0,c?关于对称轴对称的点?2h,c?、与x轴的交点?x1,0?,?x2,0?(若与x轴没有
交点,则取两组关于对称轴对称的点).
2.画草图 抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
三、二次函数的图像和性质
21.二次函数y?ax?bx?c的性质
(1). 当a?0时,抛物线开口向上,对称轴为
?b4ac?b2???,?4a??2a.
x??b2a,顶点坐标为
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当
x??bbx??2a时,y随x的增大而减小;当2a时,y随x的增大而增大;
4ac?b2bx??2a时,y有最小值4a. 当
(2). 当a?0时,抛物线开口向下,对称轴为
?b4ac?b2???,?4a??2a.
x??b2a,顶点坐标为
当
x??bbx??2a时,y随x的增大而增大;当2a时,y随x的增大而减小;
4ac?b2bx??2a时,y有最大值4a. 当
2.二次函数
a的y?a?x?h??k2 的性质:
对性质 称轴 x?h时,y随x的增大而增大;开顶点符号 口方向 坐标 向a?0 X=上 ?h,k? x?h时,y随x的增大而减小;x?hh 时,y有最小值k. x?h时,y随x的增大而减小;向a?0 X=下 ?h,k? x?h时,y随x的增大而增大;x?hh 时,y有最大值k.
四、二次函数图象的平移
概括成八个字“左加右减,上加下减”. 五、二次函数与一元二次方程:
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22y?ax?bx?c当函数值y?0时的特ax?bx?c?0一元二次方程是二次函数
殊情况.
图象与x轴的交点个数:
2Ax,0,Bx,0① 当??b?4ac?0时,图象与x轴交于两点?1??2?(x1?x2),其
ax2?bx?c?0?a?0?x,x12中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离
b2?4acAB?x2?x1?a.
② 当??0时,图象与x轴只有一个交点; ③ 当??0时,图象与x轴没有交点.
1' 当a?0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y?0; 2' 当a?0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y?0.
六、二次函数中的符号问题 1. 二次项系数a
a决定了抛物线开口大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的
大小.
2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在a?0的前提下,
b?0b?02a当时,,即抛物线的对称轴在y轴左侧;
?b?0b?02a当时,,即抛物线的对称轴就是y轴;
?b?0b?02a当时,,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
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⑵ 在a?0的前提下,结论刚好与上述相反,即
b?0b?02a当时,,即抛物线的对称轴在y轴右侧;
?b?0b?02a当时,,即抛物线的对称轴就是y轴;
?b?0b?02a当时,,即抛物线对称轴在y轴的左侧.
?总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置. 总结:“左同右异” 3. 常数项c
⑴ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;⑵ 当c?0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
⑶ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置. 七、二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
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