发布时间 : 星期二 文章福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查(理科)数学试题(教师版)更新完毕开始阅读dda0ba2df7335a8102d276a20029bd64783e628b
【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何问题，线面角的计算，属于中档题.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.在平面四边形ABCD中，?ABC?（1）若?ACB??2，?DAC?2?ACB，?ADC??3.
?6，BC?3，求BD；
（2）若DC?3AB，求cos?ACB. 【答案】（1）BD?【解析】 【分析】
（1）在Rt?ABC中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出?ADC为等边三角形，再利用余弦定理即求出BD?7（2）cos?ACB?4
37的长度.
（2）由题目已知条件?DAC?2?ACB，可将所要的角转化到?ACD中，再将AC用Rt?ABC中边角来表示，利用正弦定理及三角恒等变换求解即可得. 【详解】解：（1）在Rt?ABC中，由?ACB??6，BC?3得
AB?1，?BAC??3，AC?2
又?DAC?2?ACB??3，?ADC??3，
所以?ADC为等边三角形，所以AD?2
在?ABD中，由余弦定理得，BD2?AB2?AD2?2AB?AD?cos?BAD， 即BD?1?2?2?1?2?cos2222??7，解得BD?7 3（2）设?ACB??，AB?x， 则?DAC?2?，DC?在Rt?ABC中，AC?3x,
ABx?， sin?sin?DCAC?，
sin?DACsin?ADC在?ACD中，根据正弦定理得，
x3x?sin?， 即
sin2?sin?33x?sin?3?sin2??x3x，3x? ?2sin?cos??sin?2sin?解得cos??33，即cos?ACB?
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【点睛】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注.
18.如图1，四边形ABCD是边长为2的菱形，?BAD?60?，E为CD的中点，以BE为折痕将?BCE折起到?PBE的位置，使得平面PBE?平面ABED，如图2.
（1）证明：平面PAB?平面PBE； （2）求二面角B?PA?E的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】
（1）依题意可得PE?BE，由面面垂直的性质可得PE?平面ABCD，从而得到PE?AB，再证
7 7AB?BE，即可得到AB?平面PBE，从而得证；
uuuruuuruuur（2）以E为原点，分别以ED，，建立空间直角坐标系E?xyz，EBEP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，
利用空间向量求二面角的余弦值；
【详解】解：（1）依题意知，因为CD?BE，所以PE?BE， 当平面PBE?平面ABED时，
平面PBE?平面ABCD?BE，PE?平面PBE， 所以PE?平面ABCD，
因为ABì平面ABCD，所以PE?AB，
由已知，?BCD是等边三角形，且E为CD的中点， 所以BE?CD，AB//CD，所以AB?BE，
又PE?BE?E，PE?平面PBE，BE?平面PBE， 所以AB?平面PBE，
又ABì平面PAB，所以平面PAB?平面PBE.
（2）以E为原点，分别以ED，建立空间直角坐标系E?xyz， EB，EP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，
uuuruuuruuur
则E(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,3,0)，A(2,3,0)，
uuuruuuruuurEP?(0,0,1)，EA?(2,3,0)，BA?(2,0,0)，
uuurPA?(2,3,?1)，
urr设平面PAB的一个法向量m??x1,y1,z1?，平面PAE的一个法向量n??x2,y2,z2? uuuvv2x1?0?BA?m?0??uvv由?uu得?；令y1?1，解得z1?3，x1?0， ?PA?m?0??2x1?3y1?z1?0ur所以m?(0,1,3)，
uuuvvz2?0?EP?n?0??uuuv由?得?；令y2??2，解得x2?3，z2?0， v?EA?n?0??2x2?3y2?0r所以n?(3,?2,0)，
urrurrm?n0?2?0?27cosm,n?u???rr?. 22222272?7m?n0?1?(3)?(3)?(?2)?0易得所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为
7. 7【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.
?3?x2y219.已知F(1,0)是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的焦点，点P?1,?在C上.
?2?ab（1）求C的方程； （2）斜率为
1的直线l与C交于A?x1,y1?，B?x2,y2?两点，当3x1x2?4y1y2?0时，求直线l被圆2x2?y2?4截得的弦长.
x2y2415【答案】（1） ??1（2）435【解析】 【分析】
（1）由已知可得a2?b2?1，再点P?1,?3??在椭圆上得到方程组，解得即可； 2??（2）设直线l的方程为y?1x?t，联立直线与椭圆，列出韦达定理，由3x1x2?4y1y2?0，解得t2?2，2再由点到线的距离公式及勾股定理计算可得； 【详解】解：（1）由己知得a2?b2?1，