发布时间 : 星期一 文章青岛科技大学2010-2011-1复变函数A试题及答案更新完毕开始阅读dc8ee17b336c1eb91b375d33
2010-2011 学年 第一 学期 复变函数与积分变换 (A) 课程考试试题
拟题学院(系): 数理学院 拟题人: 杨延召
适 用 专 业: 自动化各专业 校对人: 王琳
(答案写在答题纸上,写在试题纸上无效)
一、 选择题(每小题3分,共18分)
1、设z=1-i,则Im(
1)=____________. 2zA、?1 B、?11 C、 D、1
222、设z=cosi,则____________.
A、Imz=0 B、Rez=π C、|z|=0 D、argz=π 3、设C为正向圆周|z|=1,则积分
dz?c|z|=____________.
A、0 B、2πi C、2π D、-2π 4、幂极数
(n?1)!nz的收敛半径为____________. ?(2n)!n?1?A、0 B、1 C、2 D、+?
(ez?1)sinz5、点z=0是函数f(z)?的_____________.
z2(z?1)A、可去奇点 B、一阶极点 C、二阶极点 D、本性奇点
??1t?06、函数sgnt??在傅氏变换下的像为_____________.
1t?0?A、
1211 B、 C、 D、
i?i?1?i?1?i?
1
二、 填空题(每小题3分,共21分)
1、当z?1时,z?a的最大值为_____________. 2、(1?i)为_________. 3、函数f(z)?z在z?1的泰勒展开式的收敛圆域为_____________.
(z?2)(z?3)in3?3?5?d?,则f??(?i)=_____________ 4、若f(z)=???z??25、设f(z)?1z(ezt?1),则Res[f (z),0]=__________.
2t6、已知函数e在拉氏变换下的像为才,则(t?1)e在拉氏变换下的像为______. 7、函数??1把z平面上的曲线y?x映射成?平面上的像为 ______. z三、 计算题(每小题10分,共50分)
1、试讨论定义于复平面内的函数f(z)?zRe(z)在何处可导?何处解析?在可导点求其导函数。 2、求f(z)?2z?1在圆环域1 (z?1)(z?2)1ezdz. 3、设C是正向圆周z?1?,计算?2Cz?3z?22ezdz. 4、利用留数定理计算积分?z?2(z2?1)25、求积分I??????2cosxdx. x2?4x?5四、 综合题(11分) f'(z)?0 在区域D内处处成立的充要条件为f(z) 在区域D内为一常数 2 2010-2011 学年 一 学期 复变函数与积分变换(A)试题标准答案 拟题学院(系): 数理学院 拟 题 人: 杨延召 适用专业: 自动化各专业 书写标准答案人: 杨延召 (答案要注明各个要点的评分标准) 一、选择题(18) 1、C 2、A 3 、A 4、D 5 、A 6、 C 二、填空:(21) 1、1?a 2、 e1?(2k?)?4(cosln2ln2?isin) (k?0,?1,?2,?) 222s?4s?51 3、z?1<2 4、36? 5、 6、 7、 直线 u??v 2(s?1)3三.计算题(50) ?u(x,y)?x2?xy1、解:由题意知?,由于 ?v(x,y)?0?x?0?u?v?u?v (4分) ?2x?y??0,?x???0可得?y?0?x?y?y?x?由函数可导条件知,f(z)?zRe(z)仅在z?0处可导, 在复平面内处处不解析。 (4分) 其导数由 f(z)?'?u?v?i可得:f'(0)?0 。 (2分) ?x?x2、解:在1?z?2内 f(z)?111111 (5分) ???122z?1z?2z1?1?zzn?1?1n1?zn1n?1?nz ??()??(?)??()??(?1)n?1 (5分) zn?0z2n?022n?0zn?0 3 3、解: ?Cez?2dz. (5分) dz.??Cz?1z2?3z?2zezez??2?ei (5分) ?2?i?z?2z?1 4、:被积函数在z?2内有两个孤立奇点z??i,且都是二级极点 (2分) ezezezdz?2?i[Res(2,?i)?Res(2,.i)] 由留数定理得?2222?(z?1)(z?1)(z?1)z?2ez)' ?2?i[(2(z?i)分) z?iez?)'2(z?i)z??i] (4 ?2?i[ei(i?1)?分) i4i?i?e(i?1)]??[ei(i?1)?e?i(i?1)] (4425、被积函数分母最高次幂比分子高幂高二次,且在实轴上没有奇点,在上半平面有一个一级极(2分) 故I?点 ?2?i ?????eixeizdx?2?iRes(2,?2?i) 2x?4x?5z?4z?5(?cois2 s i n 2 ) (5 eiz???(?2i2))? ?2?ilimz(z?(?2?i)z?4z?5e分) 故I????????2cosxeix2?dx.?2Redx?cos2 (322???x?4x?5x?4x?5e分) 四、证明题(11) 证明:必要性:? f(z)?'?u?v?v?u?i??i?0 ?x?x?y?y 4 ?? EMBED Equation.3 ???????? EMBED Equation.3 ???? ?? (3分) ?? EMBED Equation.3 ???????? EMBED Equation.3 ??????常数 ?? EMBED Equation.3 ??????常数 (3分) 充分性:设 ?? EMBED Equation.3 ?????? (?? EMBED Equation.3 ??????为常数) ?? EMBED Equation.3 ?????? ?? EMBED Equation.3 ???? ?? 3分) ?? EMBED Equation.3 ??????2分) ??PAGE EMBED Equation.3 ???? 在D内处处成立 (?? ?? ( ??2??5??