发布时间 : 星期日 文章高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三课时作业新人教版选修更新完毕开始阅读dbf6a76e15791711cc7931b765ce05087732750d
专业文档
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)
明目标、知重点
1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
1．概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即
y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．
探究点一 复合函数的定义
思考1 观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
答 y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．
思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？
答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝
g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．
思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？ 答 A?B.
小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法． 例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)；(2)y＝log3(x－2x＋5)； (3)y＝cos 3x.
解 (1)y＝(3＋5x)是由函数y＝u，u＝3＋5x复合而成的；
珍贵文档
2
2
2
2
专业文档
(2)y＝log3(x－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x－2x＋5复合而成的； (3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．
小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．
跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成： (1)y＝ln x；(2)y＝e
sin x22
；(3)y＝cos (3x＋1)．
解 (1)y＝ln u，u＝x； (2)y＝e，u＝sin x； (3)y＝cos u，u＝3x＋1. 探究点二 复合函数的导数 思考 如何求复合函数的导数？
答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程． 例2 求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)；(2)y＝
4
u； 1－2x1
π2x＋3
(3)y＝sin(－2x＋)；(4)y＝10.
3
解 (1)原函数可看作y＝u，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u)′·(2x－1)′＝4u·2＝8(2x－1). (2)y＝
11
＝(1－2x)－可看作y＝u－，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(－
221－2x1
3
3
4
4
1331
)u－·(－2)＝(1－2x)－＝； 222?1－2x?1－2xπ
(3)原函数可看作y＝sin u，u＝－2x＋的复合函数，
3π
则yx′＝yu′·ux′＝cos u·(－2)＝－2cos(－2x＋)
3π
＝－2cos(2x－)．
3
(4)原函数可看作y＝10，u＝2x＋3的复合函数， 则yx′＝yu′·ux′＝10
2x＋3
u·ln 10·2＝(ln 100)10
2x＋3
.
反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．
珍贵文档
专业文档
复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数． (1)y＝(2x＋3)； (2)y＝e
－0.05x＋1
3
；
(3)y＝sin(πx＋φ)．
解 (1)函数y＝(2x＋3)可以看成函数y＝u，u＝2x＋3的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝(u)′·(2x＋3)′＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12. (2)函数y＝e
－0.05x＋1
22
2
可以看成函数y＝e和函数u＝－0.05x＋1的复合函数．
uu－0.05x＋1
u∴yx′＝yu′·ux′＝(e)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05e＝－0.05 e.
(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看成函数y＝sin u，u＝πx＋φ的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝(sin u)′·(πx＋φ)′＝cos u·π ＝π cos(πx＋φ)． 探究点三 导数的应用 例3 求曲线y＝e解 ∵y′＝e∴y′|
x??122x＋1
1
在点(－，1)处的切线方程．
2
2x＋1，
2x＋1
·(2x＋1)′＝2e
＝2，
2x＋1
∴曲线y＝e
1
在点(－，1)处的切线方程为
2
y－1＝2(x＋)，
即2x－y＋2＝0.
反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法． 跟踪训练3 曲线y＝e方程．
解 设u＝sin x，则y′＝(e＝cos xe
sin xsin xsin x12
在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的
)′＝(e)′(sin x)′.
u.
y′|x＝0＝1.
则切线方程为y－1＝x－0， 即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
珍贵文档
专业文档
|c－1|
两平行线间的距离d＝＝2?c＝3或c＝－1.
2故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
1．函数y＝(3x－2)的导数为( ) A．2(3x－2) C．6x(3x－2) 答案 D
解析 y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)． 2．若函数y＝sinx，则y′等于( ) A．sin 2x C．sin xcos x 答案 A
解析 y′＝2sin x·(sin x)′ ＝2sin x·cos x＝sin 2x. 3．若y＝f(x)，则y′等于( ) A．2xf′(x) C．4xf(x) 答案 A
解析 设x＝u，则y′＝f′(u)·ux′ ＝f′(x)·(x)′＝2xf′(x)．
4．设曲线y＝e在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. 答案 2
解析 由题意知y′|x＝0＝ae|x＝0＝a＝2. [呈重点、现规律]
求简单复合函数f(ax＋b)的导数
求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，
axax2
2
2
2
2
22
2
2
B．6x D．6(3x－2)
B．2sin x D．cosx
2
B．2xf′(x) D．f′(x)
2
u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应
用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.
一、基础过关
珍贵文档