发布时间 : 星期日 文章河北省衡水市安平县高二数学上学期期末考试试题理更新完毕开始阅读db8a6e254531b90d6c85ec3a87c24028915f8594
而a?b?c?(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2???3???3?0， 即a?b?c?0，与a?b?c?0矛盾， ?a,b,c中至少有一个大于0。
18. （本题满分12分）
(1)．解：设z?a?bi,(a,b?R)，由z?1得a2?b2?1；
(3?4i)z?(3?4i)(a?bi)?3a?4b?(4a?3b)i是纯虚数，则3a?4b?0?4???a2?b2?1?a??????5,或?a??4?5?，z?4?3i,或?4?3i??3a?4b?0??5555 ?b?3?5?b??3?5(2)．解：设z?a?bi,(a,b?R)，而z?1?3i?z,即a2?b2?1?3i?a?bi?0?则??a2?b2?a?1?0??a??4?,z??4?3i ??b?3?0?b?3(1?i)2(3?4i)22z?2i(?7?24i)24?7i2(?4?3i)?4?i?3?4i
19.（本题满分12分）
证明 （1）当n=1时，左边=1，右边=1，∴左边≥右边，即命题成立. （2）假设当n=k(k∈N*
,k≥1)时，命题成立， 即1+
13k22+
132+…+ 1k2≥
2k?1.
那么当n=k+1时，要证 1+13(k?1)3k 122+
1132+…+ k2+ 1(k?1)2≥2(k?1)?1,只要证
2k?1+(k?1)2≥
3(k?1)2k?3.
∵3(k?1)3k 11-(k?1)2-k(k?2)2k?3-2k?1-(k?1)2= =
＜0,
(k?1)2[4(k?1)2?1](k?1)2(4k2?8k?3)∴
3k2k?1+ 1(k?1)113(k?1)(k?1)2≥
32k?3成立，即1+
122+
32+…+ 1k2+ (k?1)2≥2(k?1)?1成立.
∴当n=k+1时命题成立.由（1）、(2)知，不等式对一切n∈N*均成立.
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20.（本题满分12分）
（Ⅰ）当a?1时，f(x)?22xx?1?2，f(2)?2245，
625又f?(x)?2(x?1)?2x?2x(x?1)222?2x2(x?1)，f?(2)??．
45625所以，曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y?即6x?25y?32?0．
2a(x?1)?2x(2ax?a?1)(x?1)2222??(x?2)，
（Ⅱ）f?(x)???2(x?a)(ax?1)(x?1)22．
由于a?0，以下分两种情况讨论： （1）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1??化情况如下表：
x1a，x2?a．当x变化时，f?(x)，f(x)的变
1???∞，??? a??1a ?1??，a?? ?a??a (a，?∞) f?(x) f(x) ??? 0 极小值 0 极大值 ? ?所以f(x)在区间??∞，1??1?(a，?∞)，内为减函数，在区间???，a?内为增函数． a??a?（2）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1?a，x2??情况如下表：
x1a，当x变化时，f?(x)，f(x)的变化
??∞，a? ?a 1??a，??? a???1a ?1???，+∞? ?a??f?(x) 0 极大值 ??1? 0 极小值 f(x) 所以f(x)在区间(?∞，a)，??1???，+∞?内为增函数，在区间?a，??内为减函数． aa??? 6
21.（本题满分12分）
解：（1）f(x)在(,??)上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m,n)?(,??) 使
2233得f'(x)?0.由f'(x)??x2?x?2a??(x?1)2?1?2a24， 由于导函数f'(x)在区间[2,??)上单调递减，则只需f'(2)?033即可。
由f'(2)?2?2a?039解得a??19，
所以 当a??1f(x)9时，在(2,??)3上存在单调递增区间. ………6分
（2）令f'(x)?0，得两根x1?8a1?1?，1?1?8a.
2x2?2所以f(x)在(??,x1)，(x2,??)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增……8分 当0?a?2时，有x1?1?x2?4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2) 又f(4)?f(1)??27?6a?04)?f(1)2，即f(……………10分
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)?8a?40??1633，得a?1，x2?2，
从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)?103. ……12分
22.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为f(x)?excosx?x，所以f?(x)?ex(cosx?sinx)?1,f?(0)?0.
又因为f(0)?1，所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?1. （Ⅱ）设h(x)?ex(cosx?sinx)?1，则
h?(x)?ex(cosx?sinx?sinx?cosx)??2exsinx.
当x?(0,π)?(x)?02时，h，
所以h(x)在区间[0,π]上单调递减.
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所以对任意x?(0,π2]有h(x)?h(0)?0，即f?(x)?0.
π2]上单调递减.
π2)??π2所以函数f(x)在区间[0,因此f(x)在区间[0,
π2]上的最大值为f(0)?1，最小值为f(.
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