发布时间 : 星期五 文章2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 第4节 平面向量的数量积(第2课时)平面向量数量积的坐标表示、模更新完毕开始阅读dac1f50a393567ec102de2bd960590c69ec3d8b0
课下能力提升(二十)
[学业水平达标练]
题组1 平面向量数量积的坐标运算
1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，可得3k－(k＋2)＝0，解得k＝1，则a＝(1,1)，从而a·b＝1×2＋1×2＝4.
2．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为( ) A.3 B．3 C．－3 D．－3 解析：选D 向量a在b方向上的投影为
a·b－6
＝＝－3.选D. |b|2
3．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b＝( ) A.?
3??31??1?133?
，? B.?，? C.?，? D．(1,0) ?22??22??44?
解析：选B 法一：设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝3x＋y＝3.
?
由?3x＋y＝?y≠0，
x2＋y2＝1，
3
1x＝，??2
，解得?
3y＝，??2
3??1
即b＝?，?.故选B.
?22?
法二：利用排除法．D中，y＝0，
?133?
∴D不符合题意；C中，向量?，?不是单位向量，
?44?
∴C不符合题意；A中，向量?∴A不符合题意．故选B. 题组2 向量模的问题
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( ) A．42 B．25 C．8 D．82
解析：选D 易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝8＋－8
2
2
?31?
，?使得a·b＝2， ?22?
＝82.
3π
5．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则|n|＝( )
4A．－1 B．1 C．2 D．－2
1
3πm·n－12
解析：选B cos ＝＝＝－，|n|＝1.故选B.
4|m||n|22|n|
6．已知a＝(2,1)与b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________． 解析：∵a＋tb＝(2＋t,1＋2t)，∴|a＋tb|＝435?4?29
5?t＋?＋.∴当t＝－时，|a＋tb|有最小值. 55?5?54
答案：－
5
题组3 向量的夹角与垂直问题
t＋2
2
＋2t＋1
2
＝
?11?7．设向量a＝(1,0)，b＝?，?，则下列结论中正确的是( ) ?22?
A．|a|＝|b| B．a·b＝2 2
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析：选C 由题意知|a|＝1＋0＝1，|b|＝2
2
?1?2＋?1?2＝2，a·b＝1×1＋0×1?2??2?2
22????
1112
＝，(a－b)·b＝a·b－|b|＝－＝0，故a－b与b垂直． 222
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
7??77??7
A.?，? B.?－，－?
9??93??37??77??7
C.?，? D.?－，－?
3??39??9解析：选D 设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)， 由(c＋a)∥b，
得－3(1＋m)＝2(2＋n)， 又c⊥(a＋b)，得3m－n＝0， 77
故m＝－，n＝－.
93
9．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， (1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
2
∴uABuur＝(1,1)，uADuur＝(－3,3)． 又uABuur·uADuur＝1×(－3)＋1×3＝0，∴uABuur⊥uADuur，即AB⊥AD.
(2)∵uABuur⊥uADuur，四边形ABCD为矩形，∴uABuur＝uDCuur.
设C点坐标为(x，y)，则uDCuur＝(x＋1，y－4)，
∴???x＋1＝1??y－4＝1
，解得???
x＝0
?．
?y＝5
，∴点C的坐标为(0,5)由于uACuur＝(－2,4)，uBDuur＝(－4,2)，
∴uACuur·uBDuur＝8＋8＝16>0，|uACuur|＝25，|uBDuur|＝25.
设uACuur与uBDuur的夹角为θ，则cos θ＝AC―→·BD―→164
|AC―→|·|BD―→|＝20＝5
>0，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为4
5
.
10．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝
5
2
，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝25，∴x2
＋y2
＝25，∴x2
＋y2
＝20.
由c∥a和|c|＝25，可得??
?1·y－2·x＝0，?
2，?2解得?
??x＝2，?x＋y2
＝20，
??y＝4，
或?
?x＝－??y＝－4.
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2
＋3a·b－2b2
＝0， ∴2×5＋3a·b－2×55
4＝0，整理得a·b＝－2，
∴cos θ＝
a·b|a||b|
＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π. [能力提升综合练]
1．已知向量uOAuur＝(－1,2)，uuuOBr＝(3，m)，若uOAuur⊥uABuur，则m的值是( )
A.33
2 B．－2
C．4 D．－4 解析：选C ∵uOAuur＝(－1,2)，uuuOBr＝(3，m)， ∴uABuur＝uuuOBr－uOAuur＝(4，m－2)，
又∵uOAuur⊥uABuur，
∴uOAuur·uABuur＝－1×4＋2(m－2)＝－8＋2m＝0，
解得m＝4.
3
uuuruuuruuuruuur2．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，
则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)
uuuruuuruuuruuur解析：选C 设P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，∴AP·BP＝
uuuruuur22
(x－2)(x－4)＋2＝x－6x＋10＝(x－3)＋1，故当x＝3时，AP·BP最小，此时点P的
坐标为(3,0)．
3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角θ的余弦值等于( ) A.
881616
B．－ C. D．－ 65656565
解析：选C 设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，
??8＋x＝3，所以?
?6＋y＝18，?
??x＝－5，
解得?
?y＝12，?
a·b16
故b＝(－5,12)，所以cos θ＝＝.
|a||b|65
?ππ?4．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈?－，?，则|a＋b|的取值范?22?
围是( )
A．[0，2 ] B．[1，2 ] C．[1,2] D．[2，2] 解析：选D |a＋b|＝
1＋cos θ2
?ππ?2
＋sinθ＝2＋2cos θ.∵θ∈?－，?，
?22?
∴cos θ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[2，2]．
uuuruuur5.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若OA⊥OB，uuur则向量OB的坐标为________．
解析：依题意设B(cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，
uuuruuur则OB＝(cos θ，sin θ)，OA＝(1,1)．
uuuruuur因为OA⊥OB，
uuuruuur所以OA·OB＝0，
即cos θ＋sin θ＝0， 3π
解得θ＝，
4
uuur?22?所以OB＝?－，?.
2??2
4