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商场订货与销售的优化模型
马俊钦1，曹国威2，何秀平1
1.韶关学院数学系04级数学与应用数学班，广东韶关512005 2.韶关学院数学系04级信息与计算科学班，广东韶关512005
摘 要
本文根据商场中商品的实际运作过程，将其过程分为不考虑中断（缺货）损失和考虑中断（缺货）损失两种类型,并分别对它们受资金，库容因素影响的情况建立线形规划模型，通过商场提供的部分数据并利用LINGO软件得出实际中商场中各种商品一起进货时的最佳进货数量，资金最终的盈余以及库容的大小等等．最后将商品分为单周期商品和多周期商品，针对它们一起进货时受资金库容影响的情况进行了初步的推广．模型的应用效果良好，有较强的可行性．
关键词：商场；需求量；允许缺货；不允许缺货；最佳进货策略
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iiiiiii 1 问题的提出
某大型商场每周期需要储存大量物品以满足顾客的需要，经营时通常分为允许缺货
和不允许缺货两种类型．该商场常常面临资金和库存容量等因素的影响，此时如果商品进货策略把握不好，有些商品脱销，有些商品积压.其后果是减少了商场的收益．另外，有些商品缺货会造成顾客的抱怨，以至影响该商场的声誉，导致商场出现缺货损失． 在竞争激烈的市场经济条件下，该商场应如何确定最佳进货方案，使得支付的总费用最小，而获得最大利润呢？
２ 模型的准备
2.1模型的假设
(1) 顾客的单位需求量是随机的．
(2) 商场周期初所定的货物立即到达，不考虑时间误差．
(3) 商场的商品在一个年周期内，其进货价和销售价保持不变． (4) 商场每周期只能销售仓库储存的商品． (5) 商场每次的订货量不变． (6) 单位存储费不变． 2.2符号的约定
Di 第种商品的单位需求量（=1,2,…,m）
Qi 第种商品每次订货的批量（=1,2,…,m） Ci 第种商品的单价（=1,2,…,m） CD 实施一次订货的订货费
CPi 第种商品的单位存储费
J 每次订货可占用资金
WT 每次订货的库存总容量
wi 第种商品的单位库存占用（=1,2,…,m） Si 第种商品的最大缺货量 CSi 第种商品的缺货损失单价
３问题的分析
商场的整个运转过程可用以下流程图表示：
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大型商场的运转方案 不允许缺货 允许缺货 受资金限制 受库容限制 受库容限制 受资金限制 受资金库容限制的模型 受资金库容限制的模型 从以上流程图可知，我们需要分不允许缺货和允许缺货两大类分别建立数学模型．并分别从受资金，库容限制两种情况进行讨论，从而得出受两者同时限制时的优化模型．
４模型的建立和求解
大型商场每次进货都是多种商品一起进货的，而且是带有约束条件的．我们假设有M种商品同时进货．
4.1考虑中断（缺货）损失的情况下的最佳进货策略 4.1.1多种商品同时进货且受资金约束的模型
对于第i种商品，当每次订货的订货量为Qi时，年总平均费用为
TCi?CD1CPiQi?Di 2Qi每种商品的单价为Ci，每次的订货量为Qi，则CiQi是该种商品占用的资金． 因此，资金约束为
?CQii?1mi?J
综上所述，得到具有资金约束的模型为： min
CDDi1(CQ?); ?PiiQii?12m s.t.
?CQii?1mi?J,
Qi?0, i=1,2,…,m
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4.1.2多种商品同时进货且具有库容约束的模型
第i种商品的库占位大小为wi，因此，wiQi是该种商品的总的库占位，结合上面的分析，具有库容约束的模型是 min
CDDi1(CQ?); ?PiiQii?12m s.t.
?wQii?1mi?WT,
Qi?0, i=1,2,…,m
4.1.3多种商品同时进货且兼有资金与库容约束的最佳批量模型
综合上述两种模型，得到兼有资金与库容约束的最佳批量模型： min
CDDi1(CQ?); ?Pii2Qi?1im s.t.
?CQii?1mimi?J,
?wQi?1i?WT,
Qi?0, i=1,2,…,m
对于以上所建立的三种模型，通过采集数据可以容易地用LINGO软件进行求解．
我们可以通过商场所提供的部分数据验证所建立模型的合理性：该商场的最大库容量为1500m3，资金储备为40万元，订货费为1000元，其他数据如表（1）：
物资i 需求量Di 单价Ci（元//件） 存储费CPi/（元/（件*年） 60 200 100 100 20 单位占用库容wi/（m3/件） 1.0 1.5 0.5 2.0 1.0 1 2 3 4 5 600 300 900 1000 2400 500 12000 500 1800 100 表（1） 设Ni是第i种物资的年订货次数，按照以上建立的模型可以写出相应的整数规划模型
min
?1CDDi?CQ???2PiiQii?1?5???; ? 4