发布时间 : 星期三 文章2018--2019年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题参考答案及评分标准更新完毕开始阅读d7606979876fb84ae45c3b3567ec102de2bddfd5
2019年深圳市高三年级第二次调研考试
数学(理科)参考答案及评分标准 2019.4
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 A 6 A 7 D 8 C 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题.
1? 10. 11.341 12.?3 3en?113.9,n (注:第一个空填对给2分,第二个空填对给3分)
9.1?(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题. 14.(坐标系与参数方程选做题)
7? 15.(几何证明选讲选做题)30?(注:也可以填)
64三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、(本小题满分12分)
(2C?)?已知△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,sin(1)求角C的大小; (2)求
?21222,且a?b?c. 2a?b的取值范围. c222a2?b2?c2?0,?C为钝角.2分 解:(1)(法一)因为a?b?c,由余弦定理,cosC?2ab?1??3?因为sin(2C?)?,又?2C??,
22222?5?2?所以2C??,解之,得?C?. ????????????????????5分
263a2?b2?c2222?0,?C为钝角,2分 (法二)因为而a?b?c,由余弦定理,cosC?2ab?1所以??2C?2?,又cos2C??sin(2C?)??,
224?2?所以2C?,?C?.??????????????????????????5分
332013年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题参考答案及评分标准 第1页 共9页
????A,0?A?. 33?sinA?sin(?A)a?bsinA?sinB3?根据正弦定理,???????????????7分 ?2?csinCsin3?3??2?12???cosA?sinA??sin(A?) ??????10分 ?sinA????2233?3?????(2)(法一)由(1),得?B???2?3??A??,所以?sin(A?)?1, 33323a?b23从而的取值范围为(1,]. ??????????????????????12分
c32?(法二)由(1),?C?,根据余弦定理,
32?c2?a2?b2?2abcos?a2?b2?ab ????????????????????7分
3又
3?a?b??(a?b)?ab?(a?b)???(a?b)2. ?4?2?2224a?b23?a?b?所以,?. ???????????????????????10分 ???,
c33?c?a?b?1. 又a?b?c,ca?b23所以的取值范围为(1,]. ??????????????????????12分
c317、(本小题满分12分)
一个箱中原来装有大小相同的5个球,其中3个红球,2个白球.规定:进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球,如果取出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白球,则该球不放回,并另补一个红球放到箱中.”
(1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为4的概率; (2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望. 解:(1)设A1表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球”,
; B1表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球”
2A2表示事件“第2次操作从箱中取出的是红球”, B2表示事件“第2次操作从箱中取出的是白球”.
则A1B2表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球,且第2次操作从箱中取出的是白球”.
由条件概率的计算公式,得P(A1B2)?P(A1)P(B2|A1)?326??.???????2分 55252013年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题参考答案及评分标准 第2页 共9页
. B1A2表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球,且第2次操作从箱中取出的是红球”
248由条件概率的计算公式,得P(B1A2)?P(B1)P(A2|B1)???.???????4分
5525. A1B2?B1A2表示事件“进行第二次操作后,箱中红球个数为4”
而A1B2与B1A2是互斥事件,
所以P(A1B2?B1A2)?P(A1B2)?P(B1A2)
?68? 252514?.??????????????????????????6分 25(2)设进行第二次操作后,箱中红球个数为X,则X?3,4,5. ?????????8分
33914??,P(X?4)?, 5525252129142P(X?5)?????(或P(X?5)?1?P(X?3)?P(X?4)?1?).
5525252525P(X?3)?进行第二次操作后,箱中红球个数X的分布列为:
X P 3 4 5 9 2514 252 25?????????10分
进行第二次操作后,箱中红球个数X的数学期望
EX?3?914293?4??5??. ?????????????????????12分 2525252518、(本小题满分14分)
如图6,已知四边形ABCD是矩形,AB?2BC?2,三角形PAB是正三角形,且平面ABCD
?平面PCD.
(1)若O是CD的中点,证明:BO?PA; (2)求二面角B?PA?D的余弦值. 解:(法一)(1)连结OA、OP.
∵ABCD是矩形,且AB?2BC,O是CD的中点, ∴BO?AO.①???????????????1分
又∵平面PCD?平面ABCD,
平面PCD?平面ABCD?CD,
AFBDOPE图 6AD?平面ABCD,AD?CD,
∴AD?平面PCD.
C2013年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题参考答案及评分标准 第3页 共9页
而PD?平面PCD,∴AD?PD.同理BC?PC.
直角△ADP和直角△BCP中,AD?BC,PA?PB,∴PC?PD.???????3分 ∴PO?CD.又PO?平面PCD,∴PO?平面ABCD,而BO?平面ABCD,
∴BO?PO.②?????????????????????????????????5分
由①②及AO?PO?O,AO、PO?平面PAO,得BO?平面PAO.
又PA?平面PAO,所以BO?PA.????????????????????????7分
(2)延长BO、AD相交于点E,∵OD//AB,且OD?1AB, 2∴O、D分别是EB、EA的中点.?????????????????????????8分
取PA中点F,连结BF、EF,∵△PAB是正三角,∴PA?BF.③ 又由(1),PA?BO,而BF?BO?B,BF、BO?平面BEF,
所以,PA?平面BEF.∵EF?平面BEF,∴PA?EF.④ ???????????10分
而EF?平面DPA,∴?BFE是二面角B?PA?D的一个平面角.
∵AB?2BC?2,△PAB是正三角,∴BE?22,BF?3,EF?3. △BEF中,由余弦定理,得cos?BFE?即二面角B?PA?D的余弦值为?(3)2?(3)2?(22)22?3?31??.
31.?????????????????????14分 3(法二)(1)∵平面PCD?平面ABCD,平面PCD?平面ABCD?CD,AD?平面ABCD, 而ABCD是矩形,AD?CD,∴AD?平面PCD. 又PD?平面PCD,∴AD?PD.同理BC?PC.
直角△ADP和直角△BCP中,
AzQDAD?BC,PA?PB,∴PC?PD.
取AB中点Q,连结OP、OQ,
则OC、OP、OQ两两垂直.?????????2分
以O为原点,分别以OC、OP、OQ为x轴、y轴、 BOPyz轴,建立空间直角坐标系.
∵AB?2BC?2,∴A(?1,0,1),B(1,0,1).
Cx图 6又△PAB是正三角,△PCD是等腰三角形, ??????????????????3分
OP?PD2?OD2?PA2?AD2?OD2?2,∴P(0,2,0).
从而,BO?(?1,0,?1),PA?(?1,?2,1), ????????????????5分
BO?PA??1?(?1)?0?(?2)?(?1)?1?0.
所以BO?PA,BO?PA.??????????????????????????7分
2013年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题参考答案及评分标准 第4页 共9页