发布时间 : 星期五 文章数值分析习题集及答案更新完毕开始阅读d627eb68011ca300a6c39013
当
0???2?时,有?1?1???i?1,(i?1,2,?,n),
因而?(B)?1,迭代法收敛。
ri(k?1)(k?1)(k)Xi?Xi?iia即为Gauss-Seidel迭代格式。 12. 证:(a) (b) 由
X(k?1)i?X(k)iri(k?1)?ii(k)(k)?a及Xi??i?X,可得
?ri(k?1)(k?1)i??(k)iri(k?1)?iia;
n?ji?1(k?1)jj?1j?1其中,
i?1j?1?bi??aijxj?1(k?1)jni?1(k?1)j??aijxj?i(k)jn(k)j??aijx??aijxi?1(k?1)jn??aijx(jk)j?in
??aij(x?x?j)??aij(x?x)??(?aij??jj?ij?1??aij?(jk))j?i。
(c) (d)
(m?1)?1(m)?1(m?1)?1(m)?1z?ABz?Abz??ABz?Ab2, 1212113. (a) 由已知,有,及(m?1)?12(m?1)?1?1?1z?(AB)z?ABAb?Ab1, 112则
(m?1)(m?1)?12(m)(m?1)(AB)zzzz即由1到1的迭代矩阵为,所以由1到1的迭代矩阵为A?1B, ?1?(AB)?1。 则迭代方法收敛的充要条件为
(m?1)?12(m)?1?1?1z?(AB)z?ABAb?Ab1,所以迭代矩阵为12 (b) 由已知可推得1(A?1B)2,则迭代方法收敛的充要条件为?[(A?1B)2]?1。
由迭代矩阵可以看出,(b)迭代法的收敛速度是(a)的2倍。
1a1?1?a2?0,??a?114. 证:由于1?0,当2时,a1 |A|?(1?2a)(1?a)?0,所以A正定。
11?a?2收敛。 Jacobi迭代矩阵谱半径为?(B)?2|a|,所以只对215. 取排列阵P?I23,则
?A为可约矩阵。
?5??3PTAP??0??0?213??2?1?1?024??037??
16. 证: 迭代矩阵的特征方程为|?i(C)I?C|?0,
n若?i(C)?0,(i?1,2,?,n),则|C|?0,所以C?0,即对任给向量X(0),迭代n
(n)n(0)n?1X?CX?f?ff?Cg???cg?g,则 次后,,其中
X(n?1)?Cng?Cn?1g???cg?g?f
即最多迭代n次收敛于方程组的解f。
17. 用SOR方法解方程组AX?b,其中A对称正定,数组x用来存放解向量,用
|p0|?max|xi(k?1)?xi(k)|??1?i?n控制迭代终止,k表示迭代次数。
k=0, i=1 xi?0(i?1,?,n) k?k?1,p0?0 否 i<=n 是 p??(bi??aijxj??aijxj)/aii;j?1j?ii?1nxi?xi?p;i?i?1; |P|>|P0| P0=P; 是 |P0|>ε 否 输出x, k; ?118. 证:方程组的SOR迭代矩阵为L??(D??L)((1??)D??U),
?1特征方程|(D??L)||(??1??)D???L??U|?0, 即|(??1??)D???L??U|?0,
记G?(??1??)D???L??U