发布时间 : 星期六 文章行列式毕业论文更新完毕开始阅读d3a7e960551810a6f4248631
a00?010a0?0000a?00?????000?a0100?0a例4 计算行列式 Dn?.
解： 按第1行展开：
a000a0Dn?a 00a00000a000000a0 ＋(?1)n?1 a000100
a0 ＝an?(?1)n?1(?1)nan?2?an?an?2?an?an?2.
例5 计算20阶行列式
12D20?3212321...181920...171819...161718
.....................201918...321分析：这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降
?（20－1）阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！次加减法和乘法运
算，这人根本是无法完成的. 但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果.
注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算，其中，cj?j?1,212D20?3...212...321...n?表示列，ri?i?1,2...181920...171819...161718...3...2...1cj?1?cj(j?1,n?表示行.
1231?111......111...111...111...1
?1?1...201918...19).........19?1?1?1?120?1?1?1?1?1 8
13(i?2,,20)1001...12...20...20...00...01220012220?21?(?1)20?1?218??21?218
4...ri?r1...............2002102.2.4 递推法
应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式. 根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法.
例6 计算5阶行列式：
1?a?1D5?0a000a0001?aa?11?a00?10
001?aa?11?a
解：把2，3，4，5行都加到第一行，得
?a0000a100?11?aaD5?0?11?a
0000?101?aa?11?a
再按第一行展开，得递推公式
D5?1?aD4
故：
D5?1?aD4?1?a(1?aD3)?1?a?a2(1?aD2) ?1?a?a2?a3(1?a2?a)?1?a?a2?a3?a4?a5
注意:用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法.
例7
9
x0Dn?...0an?1x...0an?10?1...0.........00x00...?1a1?x
......an?2...a2?xn?a1xn?1?a2xn?2?证明： 将Dn按第1列展开得：
x0Dn?x...0an?1?1x...0an?20?1...0.........00x0?an?1x?an,(n?2)
......an?3...a2?10x?1n?1...?(?1)an......?100a1?x0............0000 ......x?1由此得递推公式：Dn?an?xDn?1，利用此递推公式可得
Dn?an?xDn?1?an?x(an?1?xDn?2) ?an?an?1x?x2Dn?2
??an?an?1x??????100?a1xn?1?xn
000000例8 证明如下行列式等式：
???Dn?100?????0
1????n?1??n?1证明 ：Dn?,其中??????
［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式，从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构. 因此可考虑利用递推关系式计算.
证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：
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Dn?（?＋?）Dn－1－??Dn－2
这是由Dn-1和Dn?2表示Dn的递推关系式. 若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式. 因此，可考虑将其变形为：
Dn－?Dn－1＝?Dn－1－??Dn－2＝（?Dn－1－?Dn－2）或 Dn－?Dn－1＝?Dn－1－??Dn－2＝（ ?Dn－1－?Dn－2）现可反复用低阶代替高阶，有：
23Dn－?Dn－1＝（?Dn－1－?Dn－2）＝?（Dn－2－?Dn－3）＝?（Dn－3－?Dn－4）2＝＝?n?（D2－?D1）=?n－2[(???)2?????(???)]??n(1)同样有：
23Dn－?Dn－1＝?（Dn－1－?Dn－2）＝?（Dn－2－?Dn－3）＝?（Dn－3－?Dn－4）2＝＝?n?（D2－?D1）=?n－2[(???)2?????(???)]??n(2)?n?1??n?1因此当???时,由（1）（2）式可解得：Dn?
???2.2.5 加边法
有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法. 当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算，要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列. 加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况.
加边法的一般做法是：
Dn?a11...a1na21...a2n.........an1...ann10?0...0a1...an1b1...bn0...0a11...a1n.........a11...a1na21...a2n.........
a21...a2n?b2an1...annan1...ann特殊情况取a1?a2??an?1 或b1?b2??bn?1当然加法不是随便加一行一
列就可以了. 那么加法在何时才能应用呢？关键是观察每行或每列是否有相同
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