发布时间 : 星期六 文章行列式毕业论文更新完毕开始阅读d3a7e960551810a6f4248631
a11...kai1...an1a12...a1na11a12...ai2...an2...a1n.........ain .........ann............kai2...kain?kai1...an2.........ann...an1推 论 若行列式中一行（或列）为零，则行列式为零.
性质3 如果行列式中某一行（或列）的所有元素均为两项之和，则该行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的此行（或列）的元素分别为此行（或列）的两个加数之一，其余各行（或列）的元素与原行列式相同.
性质4 如果行列式中有两行（或列）相同，那么行列式为零. 性质5 如果行列式中有两行（或列）成比例，那么行列式为零. 性质6 把一行（或列）的倍数加到另一行（或列），那么行列式不变. 性质7 互换行列式中两行（或列）的位置，行列式反号.
性质8 行列式按某一行（或列）展开等于该行（或列）的所有元素分别与它们所对应的代数余子式乘积之和.
性质9 行列式的任何一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式的乘积之和必为零，即
ai1Aj1?ai2Aj2?...?ainAjn?0（i?j） a1kA1l?a2kA2l?...?ankAnl?0（k?l）
a11...的乘积之和，即ai1a12...ai2......a1n...............ain=ai1Ai1?ai2Ai2?...?ainAin
...an1an2...ann2.2 行列式的解题技巧
《高等代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程. 行列式的计算是高等代数中的难点、重点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握. 计算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解. 本章就针对行列式的特点给出多种计算行列式的方法.
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2.2.1 定义法
用定义计算行列式是最基本的方法. 例1 计算n级行列式
ab00abD?00a000000 0a
b00解：按定义，in表示行指标，jn表示列指标，易见此行列式中零元素较多，元素a行指标为一个自然排列，列指标j1?1,j2?2,元素b行指标i1?n,i2?1,,jn?n，也是自然排列，而
,in?n?1，不是自然排列，列指标是一个自然排列，
所以得D?an?(?1)n?1bn.
例2 计算行列式
000...0...0200100000...02005
D =................20040...00...解：按定义，in表示行指标，jn表示列指标，为求D的值，只需求出D中所有非零项. D中第一行的非零元素只有a1,2004，因而j1 =2004，同理j2 =2003，
j3 =2002，...，j2004 =1，j2005 =2005. 于是j1j2中，j1j2j2004j2005在可能取的数据
j2004j2005只能组成一个2005个元素的排列：2004， 2003， 2002，
3， 2 ，1 ，2005，而此排列的逆序数为
t?n(n?1)2004(2004?1)2004?2003??为偶数， 222t2004?20032故D=(?1)a1,2004a2,2003...a2004,1a2005,2005?(?1)?1?2?3?...?2004?2005?2005!
由以上例子可以看出，若计算阶数较低(不超过三阶)的行列式及上三角(下三角)行列式运用定义法较为简单，但若是高阶非上(下)三角型的行列式按定义法计算比较繁琐. 因此，我们必须寻求其它的，让计算变得简洁的计算方法.
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2.2.2 化三角法
运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式，我总结了以下利用行列式的性质计算行列式的步骤. 其计算步骤可归纳如下：
(1)看行列式的行和列,如果行和列相等,则均加到某一列(行)直观上加到第一列(行).
(2)有公因子的提出公因子.
(3)进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式. (4)由行列式的定义进行计算.
由以上四步,计算一般行列式都简洁多了. 例3 计算下列行列式的值
xa Dn?aaaxaaaaxaaaa x分析：观察此行列式，主对角线上元素相等，然后其他位置元素也相同，显然若直接用定义计算很是繁琐，所以我们要充分利用行列式的性质，将其化为三角形. 先把各行都加到第一行上，然后提出公因式x?(n?1)a，再让行列式第一行的-a倍加到其他各行，进而将其化为三角形阵，计算简单.
解：
法1：各行加到第一行上得：
x?(n?1)aaDn?aax?(n?1)ax?aaax?(n?1)aax?aax?(n?1)aaax?a
提取公因式得：
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1aDn??x?(n?1)a?aa1xaa1axa1aa x第一行的-a倍加到其他各行得：
10Dn??x?(n?1)a?001x?a001ax?a0100x?a??x?(n?1)a?(x?a)n?1
法2：化成两边加一对角线行列式 把第一行的-1倍加到各行得：
xa?xax?a00a0x?a0a00x?a Dn?a?xa?x
再将各列加到一列得：
x?(n?1)a0Dn?00ax?a00a0x?a0a00x?a??x?(n?1)a?(x?a)n?1
2.2.3 按行（列）展开
行（列）展开，亦称“降阶法”，就是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，有的行列式中零元素较多，我们可以按照某一列或某一行展开进行计算（如例1）. 而有的行列式比较复杂，为了使这种运算更加简便，往往可以根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开（如例2）.
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