发布时间 : 星期四 文章专题30 等比数列(教学案)-2017年高考数学(文)一轮复习精品资料(解析版)更新完毕开始阅读d3663914332b3169a45177232f60ddccda38e6aa
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.
an+1an
数学语言表达式:=q(n≥2,q为非零常数),或=q(n∈N*,q为非零常数).
anan-12. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn1; 通项公式的推广:an=amqnm.
a1(1-qn)a1-anq
(2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==.
1-q 1-q3.等比数列及前n项和的性质
(1)如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列?G2=ab.
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm. (4)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
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高频考点一 等比数列基本量的运算
例1、(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( )
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15313317A.B.C.D. 2442
(2)在等比数列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=________. 答案 (1)B (2)4或-4
a1q·a1q3=1,??
解析 (1)显然公比q≠1,由题意得?a11-q3
=7,??1-qa=4,a=9???1?1
解得?1或?1(舍去),
???q=2,?q=-3a1
∴S5=
1-q51-q
4=
11-5
211-2
31. 4
=
(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0),
3??a1q-a1q=6,q2则?4两式相除,得=,
1+q25?a1q-a1=15,?
1
即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.
2
????a1=1,
?所以或?1?q=2,??q=.
a1=-16,2
?
故a3=4或a3=-4. 学科网
【感悟提升】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
a5
【变式探究】(1)在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则等于( )
a75A. 62C. 3
6B. 53D. 2
(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________. 答案 (1)D (2)3n1
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高频考点二 等比数列的判定与证明
例2、设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由a1=1及Sn+1=4an+2,有a1+a2=S2=4a1+2. ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
??Sn+1=4an+2, ①又? ?Sn=4an-1+2n≥2,②?
[来源学§科§网Z§X§X§K]
①-②,得an+1=4an-4an-1 (n≥2), ∴an+1-2an=2(an-2an-1) (n≥2). ∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1 (n≥2), 故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知bn=an+1-2an=3·2n1, ∴
an+1an3
=,+-
2n12n4
[来源学科网]-
an13
故{n}是首项为,公差为的等差数列. 224an133n-1∴n=+(n-1)·=, 2244故an=(3n-1)·2n2. 学科网
【感悟提升】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证.
【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求a2,a3的值;
(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列.
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∴当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 =(n-2)Sn-1+2(n-1).②
①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2. ∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2, ∴Sn+2=2(Sn-1+2). ∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0, ∴
Sn+2
=2,
Sn-1+2
故{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列. 学科网 高频考点三 等比数列的性质及应用
例3、(1)在等比数列{an}中,各项均为正值,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,则a4+a8=________. S1031
(2)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则公比q=________.
S5321
答案 (1)51 (2)-
2
【感悟提升】(1)在等比数列的基本运算问题中,一般利用通项公式与前n项和公式,建立方程组求解,但如果能灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q,则有aman=apaq”,可以减少运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质,例如等比数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列,公比为qk(q≠-1).
【变式探究】已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2a25,a2=2,则a1等于( )1A. 2C.2
B.2 2
[来源学科网Z,X,X,K]
D.2
(2)等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1等于( ) A.1
B.2
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