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时间序列分析方法讲义 第10章 协方差平稳向量过程和向量自回归模型
第十章 协方差平稳向量过程和向量自回归模型
在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。
§10.1 向量自回归导论
仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论n?1向量之间的动态交互作用。假设一个p阶向量自回归模型可以表示为VAR(p)：
Yt?c?Φ1Yt?1?Φ2Yt?2???ΦpYt?p?εt (10.1)
其中Φ1,?Φp是n?n阶系数矩阵，?t是白噪声向量，满足：
??,s?t E(εsεt)??0,s?t?其中?是n?n阶正定矩阵。
可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为：
(1)(1)1)y1t?c1??11y1,t?1??12y2,t?1????1(nyn,t?1(2)(2)2)??11y1,t?2??12y2,t?2????1(nyn,t?2?? (10.2) (p)(p)??11y1,t?p??12y2,t?p????1(np)yn,t?p??1t由此可见，在VAR(p)模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的p阶自回归的形式。此时与一元情形的一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。
利用滞后算子形式，可以将VAR(p)模型表示成为：
[In?Φ1L?Φ2L2???ΦpLp]yt?c?εt (10.3)
其中滞后算子多项式的元素可以表示成为：
(1)(2)2(p)pΦij(L)??ij??ijL??ijL????ijL
其中?ij?1,i?j，?ij?0,i?j
定义10.1 如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。此时下述变量与初始时间t无关： E(yt)和E(yty?t?j)
命题10.1 如果一个向量过程满足VAR(p)模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有：
(1) 该过程的均值向量可以表示成为：
μ?[In?Φ1?Φ2???Φp]?1c (10.4) (2) VAR(p)模型可以表示成为中心化形式：
(yt?μ)?Φ1(yt?1?μ)?Φ2(yt?2?μ)???Φp(yt?p?μ)?εt (10.5)
§10.2 向量自回归方程的表示和平稳性条件
与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的VAR (p)模型表示成为VAR (1) 的形式。为此，我们定义更高阶的向量为：
ξnp?1?(yt-μ,yt-1-μ,?,yt-p+1-μ)?
Vnp?1?(?t,0,?,0)?
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Fnp?np??1?I?n??0?????0?20In?0?3??100?0????00?In?p?0??0? ???0??利用上述表示，可以将VAR (p)模型表示成为紧凑形式为：
ξt?Fξt?1?vt (10.6)
此时向量误差的协方差矩阵为：
?Q,t?s E(vtv?)??s0,t?s?此处协方差矩阵为： ?Ω00??000??Qnp?np??000?????????000?000?00?0??0? ???0??对方程(10.6)进行叠代，可以得到：
ξt?s?vt?s?Fvt?s?1?F2vt?s?2???Fs?1vt?1?Fsξt
显然，当向量过程是平稳过程时，任何给定的误差过程的影响一定要随着时间消失，这时矩阵F的所有特征根都要落在单位圆内。
类似的命题有：
命题10.2 矩阵F的特征根满足下列方程：
|In?p?Φ1?p?1?Φ2?p?2???Φp|?0 (10.7)
与此对应，VAR (p)模型是向量协方差平稳过程的条件是下述方程的特征根全部落在单位圆外：
|In?Φ1z?Φ2z2???Φpzp|?0
对向量协方差平稳过程而言，我们也可以类似地定义和讨论它的协方差性质。例如，时间间隔为j的协方差矩阵为：
Γj?E[(yt-μ)(yt?j-μ)?] (10.8)
但是需要注意的是，此时不满足等式：Γj?Γ?j，正确的对应关系为：
Γ?j?Γ?j
针对协方差平稳的VAR (p)模型，假设：
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??yt-μ????????yt?1-μ?????Σ?E(ξtξ?)?E[(y-μ),(y-μ),?,(y-μ)]???tt-1t-p+1?t???????????yt?p?1-μ???Γ0?Γ?1???????Γ?p?1Γ1Γ0?Γ?p?2?Γp?1??Γp?2???????Γ0?? (10.9)
进一步可以得到：
?E(ξtξ?t)?E[(Fξt?1?vt)(Fξt?1?vt)]
???FE(ξtξ?)F?E[vv]ttt因此有：
Σ?FΣF??Q (10.10) 上述公式建立了向量协方差之间的关系。
§10.3 向量自回归模型的极大似然估计和假设检验
显然，在协方差平稳过程中，向量自回归模型是比较容易进行估计和预测的，由于Sims (1980) 做出了具有影响性的研究，使得VAR模型在进行经济系统的动态分析中变得十分流行。下面我们主要介绍没有限制条件的VAR模型的估计问题。
1. 向量自回归的条件似然函数
假设n?1维向量Yt满足p阶高斯—向量自回归模型：
Yt?c?Φ1Yt?1?Φ2Yt?2???ΦpYt?p?εt (10.11)
其中Φ1,?Φp是n?n阶系数矩阵，?t是高斯噪声向量，满足：
εt~N(0,Ω)
上述模型估计类似于单变量AR模型。 2. 似然比检验
对于VAR模型而言，检验模型的自回归阶数的假设检验可以很容易和方便地通过似然比检验进行，此时模型的原假设和备选假设为：
H0：p?p0；H0：p?p1?p0 (10.12)
此时的似然比统计量为：
?|?log|??|}~?2(s) LR?2(?1??0)?T{log|?01这里的s是原假设的限制参数个数，此时s?n2(p1?p0)
§10.4 二元变量的Granger因果关系检验
可以利用向量自回归模型处理的一个重要问题是判断一些变量在预期其他变量时是否有用。这时我们需要描述二元变量之间的关系。这种方法最早由Granger (1969) 提出，通过
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Sims (1972) 的应用使其流行起来。
1. 二元变量Granger因果性的定义
考虑两个单变量xt和yt，我们需要解决的问题是如何判断yt是否有助于预测xt。如果我们则称yt对xt没有显著的Granger因果影响(yt does not Granger-cause yt无助于预测xt，
xt)。我们可以更为正式地描述这样的关系：
如果对所有的s?0，基于(xt,xt?1,?)预测xt?s的均方误差与使用(xt,xt?1,?)和(yt,yt?1,?)预测xt?s的均方误差是相同的，则称yt没有对xt产生Granger因果影响。
如果我们仅仅考虑线性约束，则yt没有对xt产生Granger因果影响的条件为：
对所有s?0，有：
?(x|x,x,?)]?MSE[E?(x|x,x,?;y,y,?)] (10.13) MSE[Et?stt?1t?stt?1tt?1上述表达式还有一个等价的说法，如果上式成立，则称xt在时间序列的意义上相对于yt是外生的。
这样的关系还有第三种称呼，如果上式成立，则称yt对于未来的xt不具有线性信息性。
最早Granger提出如此定义的原因是，如果一个事件Y是另外一个事件X的原因的话，那么事件Y应该先于事件X发生。虽然从哲学角度这样的关系可能是对的，但是在实践中如何检验这样的关系则是艰难的。
2. Granger因果性的另一种解释
在描述二元变量xt和yt的VAR模型中，可以利用回归系数矩阵来说明xt和yt之间的Granger因果关系。
命题10.3 如果在xt和yt的VAR模型中，对所有j，系数矩阵Φj都是下三角矩阵，即：
(1)(2)0??xt?1???110??xt?2??xt??c1???11?y???c???(1)???(2)???(1)??(2)??yy?????t??2??2122??t?1??2122??t?2? (10.14)
(p)??110??xt?p???1t???(p)????(p)??y????2t??2122??t?p?证明：根据整个系统的第一行可以知道，关于xt的最优一阶段预测仅仅依赖自身的滞后值，而不依赖yt的滞后值：
?(x|x,x,?;y,y,?)]?c??(1)x??(2)x????(p)xEt?1tt?1tt?1111t11t?111t?p?1
进一步，可以得到：
(1)(2)(p)xt?2?c1??11xt?1??11xt????11xt?p?2??1,t?2
根据投影的叠代定律，以及数学归纳法，我们可以证明对任意超前s?0阶段的预测都仅仅依赖(xt,xt?1,?)。
Sims(1972)给出了Granger因果关系的另外一种通俗的解释，可以归纳为下面的命题： 命题10.4 考虑yt基于xt的过去、现在和将来值的投影：
yt?c??bjxt?j??djxt?j??t (10.15)
j?0j?1?? 4